Inecuaciones de segundo grado

Una inecuación de segundo grado es una inecuación en donde encontramos números, una variable (que llamaremos $x$) que esta vez la podemos encontrar multiplicándose a ella misma, y un símbolo de desigualdad..

Un ejemplo de inecuación de segundo grado podría ser: $$ 2x^2-x < 2x-1$$

donde podemos observar que el término $2x^2$ es el termino cuadrático, característico de las inecuaciones de segundo grado, ya que si éste no estuviera, tendríamos una inecuación de primer grado.

Para resolver una inecuación de segundo grado usaremos un método compuesto por una serie de pasos a seguir.

Una de las cosas que se nos hará falta para este método es la fórmula de resolución de ecuaciones de segundo grado que recordamos a continuación:

Dada la ecuación de segundo grado: $ax^2+bx+c=0$, las soluciones vienen dadas por la fórmula: $$ x_{+}=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \qquad x_{-}=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Puede ser que tengamos dos, una o ninguna solución en función del valor de $\sqrt{b^2-4ac}$ (para más información consultar el tema de ecuaciones de segundo grado).

Método a seguir para la resolución:

• Dada la inecuación, hacerle los cambios adecuados hasta dejar un cero en uno de los lados de la inecuación, consiguiendo una expresión del tipo: $ax^2+bx+c < 0$ o $ax^2+bx+c > 0$ donde los valores $b$ y $c$ son números reales que pueden ser positivos o negativos y incluso cero y $a$ es un valor positivo. En caso de encontrar un valor de $a$ negativo, multiplicaremos por $(-1)$ toda la inecuación, cambiando así el signo de $a$ (y en consecuencia, el signo de los demás términos y el orden de la desigualdad).

• Buscaremos las soluciones de la ecuación $ax^2+bx+c= 0$, inducida por la inecuación $ax^2+bx+c < 0$ o $ax^2+bx+c > 0$.

• Puede ser que tengamos tres opciones:

  • Si no tenemos soluciones de la ecuación, debemos separar dos casos:

    • Si $ax^2+bx+c > 0$: La solución es cualquier valor real: todos los números cumplen la inecuación.
    • Si $ax^2+bx+c < 0$: Ningún valor de $x$ cumple la inecuación, por lo tanto, la inecuación no tiene solución.

    Si nos dibujamos la gráfica de $y=ax^2+bx+c$ observaremos que no corta el eje X, ya que la ecuación no tiene soluciones. Al ser además el valor de $a$ positivo, toda la grafica se encuentra por encima del eje X, con valores $y$ positivos, por lo tanto, si la inecuación tiene signo mayor que (o mayor o igual que), cualquier punto es solución de la inecuación, y si tiene signo menor que (o menor o igual que), ningún punto será solución.

  • Si sólo tenemos una solución, haremos:

    • Si teníamos la inecuación $ax^2+bx+c > 0$, y realizamos el procedimiento: $$ ax^2+bx+c > 0 \Rightarrow (x-x_1)^2 > 0 \Rightarrow (x-x_1)(x-x_1) > 0$$ $$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} (x-x_1) < 0 \Rightarrow x < x_1 \\ (x-x_1) > 0 \Rightarrow x > x_1 \end{array} \right. $$

      Hemos de considerar los dos últimos casos válidos ya que un producto de dos números es positivo si éstos dos son a la vez positivos o negativos.

      Así que la solución de la inecuación serán los $x$ que cumplan $x < x_1$ y $x > x_1$ donde $x_1$ es la solución de la ecuación $ax^2+bx+c=0$.

      En caso que tuviéramos una desigualdad del tipo $ax^2+bx+c \geqslant 0$, aparte de las mismas soluciones que considerábamos antes, añadiríamos la solución $x_1$ y el resultado sería tener como región solución toda la recta real.

    • Si teníamos la inecuación $ax^2+bx+c < 0$, haremos: $$ ax^2+bx+c < 0 \Rightarrow (x-x_1)^2 < 0 \Rightarrow \text{ No tenemos solución} $$ Ya que un número elevado al cuadrado siempre será positivo, y estamos exigiendo que sea negativo.

      En caso que tuviéramos una desigualdad del tipo $ax^2+bx+c \leqslant 0$, sí tendríamos una solución: justamente la solución de la ecuación $x_1$.

  • Si tenemos dos soluciones, $x_1$ y $x_2$, considerando además que $x_1 < x_2$, haremos el siguiente procedimiento:

    (Recordemos que el valor de $a$ siempre es positivo)

    • Si $ax^2+bx+c > 0$: $$ ax^2+bx+c > 0 \Rightarrow (x-x_1)(x-x_2) > 0 \Rightarrow$$ $$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \text{a) } \ (x-x_1) > 0 \ \text{ y } \ (x-x_2) > 0 \\ \text{b) } \ (x-x_1) < 0 \ \text{ y } \ (x-x_2) < 0 \end{array} \right. $$ $$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \text{a) } \ x > x_1 \ \text{ y } \ x > x_2 \\ \text{b) } \ x < x_1 \ \text{ y } \ x < x_2 \end{array} \right. $$

      y como hemos supuesto que $x_1 < x_2$, nos quedamos con las desigualdades $x < x_2$ y $ x < x_1$.

    • Si $ax^2+bx+c < 0$: $$ ax^2+bx+c < 0 \Rightarrow (x-x_1)(x-x_2) < 0 \Rightarrow$$ $$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \text{a) } \ (x-x_1) > 0 \ \text{ y } \ (x-x_2) < 0 \\ \text{b) } \ (x-x_1) < 0 \ \text{ y } \ (x-x_2) > 0 \end{array} \right. $$ $$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \text{a) } \ x > x_1 \ \text{ y } \ x < x_2 \\ \text{b) } \ x < x_1 \ \text{ y } \ x > x_2 \end{array} \right. $$ y como hemos supuesto que $x_1 < x_2$, nos quedamos con las desigualdades $x < x_2$ y $ x < x_1$.

• Una vez hayamos encontrado la región donde se cumple la inecuación, ya hemos terminado.

Recordad que en el algoritmo de resolución solo hemos empleado desigualdades estrictas (menor que, mayor que), pero el mismo razonamiento sirve para desigualdades del tipo mayor o igual que y menor o igual que.

A continuación veremos un ejemplo de cada tipo:

$$ x^2+x+2 > -1-x $$

Resolución: $$ x^2+x+2 > -1-x \Rightarrow x^2+2x +1 > 0 $$

Encontramos las soluciones de la ecuación $x^2+2x+1=0$: $$ x=\dfrac{-2\pm \sqrt{4-4}}{2}=-1$$ Hay una única solución.

Siguiendo el esquema que hemos dado, la solución es $x < -1$ y $x > -1$, es decir, todos los puntos menos $-1$.

$$ x^2+2 < -1-2x $$

Resolución: $$ x^2+2 < -1-2x \Rightarrow x^2+2x +1 < 0 $$

Encontramos las soluciones de la ecuación $x^2+2x+1=0$: $$ x=\dfrac{-2\pm \sqrt{4-4}}{2}=-1$$ Hay una única solución.

Siguiendo el esquema que hemos dado, no tenemos soluciones posibles.

$$ -x(x-1)-x < -1 $$

Resolución: $$ -x(x-1)-x < -1 \Rightarrow -x^2+x-x +1 < 0 \Rightarrow -x^2 +1 < 0 \Rightarrow x^2 -1 > 0 $$

Encontramos las soluciones de la ecuación $x^2-1=0$: $x=\pm 1$

Como tenemos dos soluciones, la solución del problema (siguiendo las indicaciones) es $x < -1$ y $x > 1$.