Inequacions amb dues variables

Un cop ja sabem tractar inequacions de primer grau amb una variable (l'anomenem $x$), introduirem una segona variable a la que anomenarem $y$. Per tant, ara tenim expressions algebraiques formades per números, $x$, $y$ i un símbol de desigualtat.

$$ x+y < 1$$

En resoldre inequacions d'una sola variable, dèiem que havíem resolt la inequació quan arribàvem a un resultat del tipus $x < a$. Com era d'esperar, ara ja no podrem fer el mateix donat que tenim dues variables.

Llavors, com es dóna el resultat? Què significa resoldre una inequació de dues variables? Aquestes preguntes les resoldrem a continuació.

Comencem doncs amb un exemple i després ja donarem una indicació general sobre com es resolen aquestes inequacions.

Si ens fixem, l'expressió $ x+y < 1$ és molt semblant a $ x+y = 1$, i aquesta última no és res més que una recta que es pot representar en el pla, ja que $ x+y = 1 \Rightarrow y=-x+1$. Això significa que els punts que compleixen la igualtat $x+y = 1$ són justament els punts de la recta.

Aleshores, podem dir directament que els punts de la recta no compleixen la desigualtat de la inequació $ x+y < 1$, ja que aquests fan que $x + y$ sumi el valor $1$ i nosaltres estem exigint que $x + y$ sigui inferior a $1$.

Tot i així, podem descriure la nostra inequació com: $ x+y < 1 \Rightarrow y < -x+1$ i precisament la recta anterior ens divideix el pla en dues parts, una per sobre de la recta i una per sota. Justament, com que la nostra inequació és $y < -x+1$, els punts que compleixen la inequació són exactament els que es troben per sota la recta.

Algorisme de resolució:

Fixem-nos com hem resolt aquesta inequació de dues variables (l'exemple anterior):

• Hem separat les variables, una a cada costat de la inequació, normalment deixant la $y$ sola en un costat i la $x$ en l'altre juntament amb els coeficients lliures, deixant la inequació de manera $y < ax+b$ o $y > ax+b$.

• Hem dibuixat la recta induïda per la inequació (la recta $y = ax+b$).

• Hem escollit una zona del pla: la que està per sobre del pla o per sota en funció de la nostra inequació. Aquesta elecció l'hem fet de la següent manera:

  • Si $y < ax+b$, llavors diem que és la zona inferior de la recta.
  • Si $y > ax+b$, llavors diem que és la zona superior de la recta.

• Aquesta zona del pla justament és la que és solució de la nostra inequació.

Hem de tenir en compte que pot ser que la nostra inequació tingui una desigualtat del tipus $ < $, $ > $ $\leqslant$ o $\geqslant$. En els dos primers casos, la zona del pla que escollim no conté els punts de la recta, mentre que els dos últims casos, quan tenim "menor o igual que" o "més gran o igual que", sí estem prenent els punts de la recta, a més de la zona superior o inferior del pla, com a solució de la nostra inequació.

Llavors, donar una solució d'una inequació és donar una regió del pla? Cert, però penseu que és equivalent donar aquesta regió del pla que donar la inequació on la $y$ està en un costat i la $x$ i els coeficients lliures en l'altre. Així que podem dir que solucionar una inequació és donar una expressió del tipus $y < ax+b$ o $y > ax+b$ i dir que els punts que prenem estan per sota o per sobre de la recta $y = ax+b$ i si prenem també o no els de la recta.