Perpendicularitat entre rectes

Dues rectes $r$ i $s$ són perpendiculars si i només si l'angle entre elles és de $90^\circ$. Això equival al fet que el cosinus de l'angle sigui igual a $0$ ($\cos \widehat{(r,s)}=0$) i per tant a que el producte escalar dels seus vectors directors sigui igual a $0$.

Si tenim les rectes $Ax + By + C = 0$ i $A'x + B'y +C '= 0$, els vectors directors d'aquestes rectes són $\overrightarrow{u}= (-B, A)$ i $\overrightarrow{v}= (-B', A ')$.

Per tant, si en coordenades imposem que el producte escalar dels dos vectors sigui $0$ tenim: $$\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=0 \Leftrightarrow u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2=0 \Leftrightarrow -B \cdot (-B') + A \cdot A' = 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow B\cdot B '+ A \cdot A' = 0 \Leftrightarrow A \cdot A '=-B · B' \Leftrightarrow \displaystyle \frac{A}{B}=-\frac{B'}{A'}$$

Per tant ja tenim una manera de comprovar si dos vectors, i per tant dues rectes, són perpendiculars a partir dels seus components.

Si recordem a més que $\displaystyle m_1=\frac{-A}{B}$ i $\displaystyle m_2=\frac{-A'}{B'}$ són els pendents de $r$ i $s$, tenim que la condició de perpendicularitat és equivalent a $m_1=\displaystyle -\frac{1}{m_2}$

Recordem finalment que si tenim un vector $\overrightarrow{v}=(v_1,v_2)$, un vector $\overrightarrow{w}$ perpendicular a $\overrightarrow{v}$ és $\overrightarrow{w}=(-v_2,v_1)$.

Troba l'equació de la recta perpendicular a $r: y = 2x - 5$ que passa pel punt $A = (1, 2)$

La recta donada té pendent $m = 2$. Per tant volem una recta amb pendent $\displaystyle m' =-\frac{1}{2}$.

Així, utilitzant l'equació punt-pendent tenim que la recta buscada és: $$y - 2 = \displaystyle -\frac{1}{2}(x - 1)$$