Perpendicularidad de rectas

Dos rectas $r$ y $s$ son perpendiculares si y solo si el ángulo entre ellas es de $90^\circ$. Esto equivale a que el coseno del ángulo sea igual a $0$ ($\cos \widehat{(r,s)}=0$) y por tanto a que el producto escalar de sus vectores directores sea igual a $0$.

Si tenemos las rectas $Ax + By + C = 0$ y $A'x + B'y +C '= 0$, vectores directores de dichas rectas son $\overrightarrow{u}= (-B, A)$ y $\overrightarrow{v}= (-B', A ')$.

Por tanto, si en coordenadas imponemos que el producto escalar de los dos vectores sea $0$ tenemos: $$\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=0 \Leftrightarrow u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2=0 \Leftrightarrow -B \cdot (-B') + A \cdot A' = 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow B\cdot B '+ A \cdot A' = 0 \Leftrightarrow A \cdot A '=-B · B' \Leftrightarrow \displaystyle \frac{A}{B}=-\frac{B'}{A'}$$

Por tanto ya tenemos una manera de comprobar si dos vectores, y por tanto dos rectas, son perpendiculares a partir de sus componentes.

Si recordamos además que $\displaystyle m_1=\frac{-A}{B}$ y $\displaystyle m_2=\frac{-A'}{B'}$ son las pendientes de $r$ y $s$, tenemos que la condición de perpendicularidad es equivalente a: $m_1=\displaystyle -\frac{1}{m_2}$

Recordemos por último que si tenemos un vector $\overrightarrow{v}=(v_1,v_2)$, un vector $\overrightarrow{w}$ perpendicular a $\overrightarrow{v}$ es $\overrightarrow{w}=(-v_2,v_1)$.

Encuentra la ecuación de la recta perpendicular a $r: y = 2x - 5$ que pasa por el punto $A = (1, 2)$

La recta dada tiene pendiente $m = 2$. Por tanto queremos una recta con pendiente $\displaystyle m' =-\frac{1}{2}$.

Así, utilizando la ecuación punto-pendiente tendremos que la recta buscada es: $$y - 2 = \displaystyle -\frac{1}{2}(x - 1)$$