Equació punt-pendent de la recta

Consisteix en aïllar $y-p_1$ de l'equació contínua de la recta:$$\displaystyle \begin{array}{rcl} \frac{x-p_1}{v_1}& = & \frac{y-p_2}{v_2} \\ y-p_2 & = & \frac{v_2}{v_1} (x-p_1)\\ y-p_2 & = & m \cdot (x-p_1)\end{array}$$ on $m =\dfrac{v_2}{v_1}$ és el pendent de la recta.

Algunes propietats notables del pendent són:

• El pendent d'una recta és la tangent de l'angle que forma la recta amb l'eix $OX$.
• El pendent d'una recta és una mesura de la inclinació de la recta: $m=0 \longrightarrow $ recta horitzontal, $m=1 \longrightarrow$ recta amb inclinació de $45^\circ$, $m <0 \longrightarrow $ recta inclinada cap avall.
• Dues rectes que tenen el mateix pendent són paral·leles (poden ser la mateixa).
• Podem conèixer l'angle entre dues rectes a partir dels seus respectius pendents.
• Si $\overrightarrow{v}= (v_1,v_2)$ és un vector director d'una recta $r$, el pendent d'aquesta recta $r$ serà $\displaystyle m =\frac{v_2}{v_1}$
• Si coneixem el pendent $m$ d'una recta, un vector director d'aquesta és $\overrightarrow {v}=(1,m)$

Una propietat important de l'equació punt-pendent és que ens permet escriure l'equació de la recta a partir únicament del pendent i d'un punt de la recta.

En efecte, si volem una recta de pendent $m$ que passi pel punt $P = (p_1,p_2)$ hem d'escriure: $$y-p_2=m \cdot (x-p_1)$$

Trobeu l'equació punt-pendent de la recta $r$ que passa pels punts $(3, 4)$ i $(-2,6)$.

L'equació vectorial amb $A=(3,4)$ i $B=(-2,6)$ és: $$(x, y) = A + k \cdot \overrightarrow {AB} = (3, 4) + k \cdot (-5, 2)$$ Per tant les equacions paramètriques de la recta són: $$\left. \begin{array}{rcl} x=3-5 \cdot k \\ y=4+2 \cdot k \end{array} \right\}$$ Aïllant $k$ obtenim l'equació contínua $$\displaystyle \frac{x-3}{-5}=\frac{y-4}{2}$$ i finalment, aïllant $y - 4$ i reescrivint tenim: $$y-4=\displaystyle \frac{2}{-5}(x-3)=\frac{-2}{5}(x-3)$$ que és l'equació punt-pendent de la recta.

El pendent de la recta és $m =-\displaystyle \frac{2}{5}$.