Ecuación punto-pendiente de la recta

Consiste en aislar $y-p_1$ de la ecuación continua de la recta:$$\displaystyle \begin{array}{rcl} \frac{x-p_1}{v_1}& = & \frac{y-p_2}{v_2} \\ y-p_2 & = & \frac{v_2}{v_1} (x-p_1)\\ y-p_2 & = & m \cdot (x-p_1)\end{array}$$ donde $m =\dfrac{v_2}{v_1}$ es la pendiente de la recta.

Algunas propiedades notables de la pendiente son:

• La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje $OX$.
• La pendiente de una recta es una medida de la inclinación de la recta: $m=0 \longrightarrow $ recta horizontal, $m=1 \longrightarrow$ recta con inclinación de $45^\circ$, $m <0 \longrightarrow $ recta inclinada hacia abajo.
• Dos rectas que tienen el mismo pendiente son paralelas (pueden ser la misma).
• Podemos conocer el ángulo entre dos rectas a partir de sus respectivos pendientes.
• Si $\overrightarrow{v}= (v_1,v_2)$ es un vector director de una recta $r$, la pendiente de dicha recta $r$ será $\displaystyle m =\frac{v_2}{v_1}$
• Si conocemos la pendiente m de una recta, un vector director de ésta es $\overrightarrow {v}=(1,m)$

Una propiedad importante de la ecuación punto-pendiente es que nos permite escribir la ecuación de la recta a partir únicamente de la pendiente y de un punto de la recta.

En efecto, si queremos una recta de pendiente $m$ que pase por el punto $P = (p_1,p_2)$ deberemos escribir: $$y-p_2=m \cdot (x-p_1)$$

Encontrad la ecuación punto-pendiente de la recta $r$ que pasa por los puntos $(3, 4)$ y $(-2,6)$.

La ecuación vectorial con $A=(3,4)$ y $B=(-2,6)$ es: $$(x, y) = A + k \cdot \overrightarrow {AB} = (3, 4) + k \cdot (-5, 2)$$ Por tanto las ecuaciones paramétricas de la recta son: $$\left. \begin{array}{rcl} x=3-5 \cdot k \\ y=4+2 \cdot k \end{array} \right\}$$ Aislando $k$ obtenemos la ecuación contínua: $$\displaystyle \frac{x-3}{-5}=\frac{y-4}{2}$$ y finalmente, aislando $y - 4$ y reescribiendo tenemos: $$y-4=\displaystyle \frac{2}{-5}(x-3)=\frac{-2}{5}(x-3)$$ que es la ecuación punto-pendiente de la recta.

La pendiente de la recta es $m =-\displaystyle \frac{2}{5}$.