Distància entre un punt i una recta

La distància entre un punt $P$ i una recta $r$, és el mínim de les distàncies entre $P$ i un punt de la recta.

Podem distingir dos casos:

• Si $P$ pertany a la recta $r$, $d (P, r) = 0$.
• Si $P$ no pertany a la recta $r$, $d (P, r)$ és el mòdul del vector $\overrightarrow{QP}$, on $Q$ és el punt d'intersecció entre la recta $r$ i la perpendicular a $r$ que passa per $P$.

Sigui $Ax + By + C = 0$ l'equació general de la recta $r$, $P =(p_1,p_2)$ el punt donat i $A =(a_1,a_2)$ un punt qualsevol de la recta.

Si prenem un vector perpendicular a $r$, per exemple $\overrightarrow{n} = (A, B)$ per les propietats del producte escalar en la projecció de vectors tenim: $$\displaystyle d(P,r)=\frac{|\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{n}|}{\overrightarrow{n}}=\frac{|A\cdot p_1+B\cdot p_2-(A\cdot a_1+B\cdot a_2)|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$ Però com $A = (a_1,a_2)$ és un punt de la recta $r$, hem de verificar l'equació: $$A\cdot a_1+B\cdot a_2+C=0 \leftarrow A\cdot a_1+B\cdot a_2=C$$ Per tant obtenim la següent fórmula: $$d(P,r)=\displaystyle \frac{|A\cdot p_1+B\cdot p_2+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

Sigui $P = (-1, 2)$ un punt i $r: 4x - 3y + 1 = 0$ una recta. Calculeu la distància entre el punt i la recta.

Aplicant la fórmula tenim: $$\displaystyle d (P, r) =\frac{A\cdot p_1+B\cdot p_2+C}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{|4\cdot (-1)+(-3)\cdot 2+1|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}=\frac{9}{5} $$