Distancia entre un punto y una recta

La distancia entre un punto $P$ y una recta $r$, es el mínimo de las distancias entre $P$ y un punto cualquiera de la recta.

Podemos distinguir dos casos:

• Si $P$ pertenece a la recta $r$, $d (P, r) = 0$.
• Si $P$ no pertenece a la recta $r$, $d (P, r)$ es el módulo del vector $\overrightarrow{QP}$, donde $Q$ es el punto de intersección entre la recta $r$ y la perpendicular a $r$ que pasa por $P$.

Sea $Ax + By + C = 0$ la ecuación general de la recta $r$, $P =(p_1,p_2)$ el punto dado y $A =(a_1,a_2)$ un punto cualquiera de la recta.

Si tomamos un vector perpendicular a $r$, por ejemplo $\overrightarrow{n} = (A, B)$ por las propiedades del producto escalar en la proyección de vectores tenemos: $$\displaystyle d(P,r)=\frac{|\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{n}|}{\overrightarrow{n}}=\frac{|A\cdot p_1+B\cdot p_2-(A\cdot a_1+B\cdot a_2)|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$ Pero como $A = (a_1,a_2)$ es un punto de la recta $r$, tenemos que verificar su ecuación: $$A\cdot a_1+B\cdot a_2+C=0 \leftarrow A\cdot a_1+B\cdot a_2=C$$ Por tanto obtenemos la siguiente fórmula: $$d(P,r)=\displaystyle \frac{|A\cdot p_1+B\cdot p_2+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

Sea $P = (-1, 2)$ un punto y $r: 4x - 3y + 1 = 0$ una recta. Calculad la distancia entre el punto y la recta.

Aplicando la fórmula tenemos: $$\displaystyle d (P, r) =\frac{A\cdot p_1+B\cdot p_2+C}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{|4\cdot (-1)+(-3)\cdot 2+1|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}=\frac{9}{5} $$