Políedres: definicions bàsiques i classificació

Per començar, definim els angles que estan dins dels políedres.

• Angle díedre: És la proporció d'espai limitada per dos semiplans que s'anomenen cares.

• Angle políedre: És la proporció d'espai limitada per tres o més plans que concorren en un punt anomenat vèrtex. Un angle políedre ha de mesurar menys de $360^\circ$.

Un cop definits els dos angles que ens podem trobar en un políedre, a continuació donarem la definició de políedre.

Un políedre és la regió de l'espai delimitada per polígon, o el que és el mateix, un cos geomètric amb les cares planes i que tanquen un volum finit.

Els elements notables d'un políedre són els següents:

• Cares: Cada un dels polígons que limiten el políedre.
• Arestes: Els costats de les cares del políedre. Dues cares tenen una aresta en comú.
• Vèrtex: Els vèrtexs de cadascuna de les cares del políedre. Tres cares coincideixen en un mateix vèrtex.
• Angles díedres: angle format per cada dues cares que tenen una aresta en comú.
• Angles polièdrics: Els angles formats per tres o més cares del políedre amb un vèrtex comú.
• Diagonals: Segments que uneixen dos vèrtexs no pertanyents a la mateixa cara.

Per finalitzar, en tots els políedres es compleix l'anomenada Relació d'Euler: $$c + v = a + 2$$

sent $c$ el nombre de cares del políedre, $v$ el nombre de vèrtexs del políedre i $a$ el nombre d'arestes.

Classificació i famílies de políedres

Els políedres poden ser classificats en molts grups segons la família on provenen o de les característiques que els diferencien.

Segons les seves característiques, es distingeixen:

• En un políedre convex una recta només pugui tallar a la seva superfície en dos punts.

• En un políedre còncau una recta pot tallar la seva superfície en més de dos punts, per la qual cosa té algun angle díedre entrant.

• En un políedre de cares regulars totes les cares del políedre són polígons regulars.

• En un políedre de cares uniformes totes les cares són iguals.

• Es diu políedre d'arestes uniformes quan en totes les seves arestes es reuneixen el mateix parell de cares.

• Es diu políedre de vèrtexs uniforme quan en tots els vèrtexs del políedre convergeixen el mateix nombre de cares i en el mateix ordre.

Aquests grups no són exclusius, és a dir, un políedre pot estar inclòs en més d'un d'ells.

A més de les classificacions anteriors, també podem classificar els poliedres mitjançant les seves famílies:

• Políedres regulars: Són els anomenats sòlids platònics.

• Políedres irregulars

  • Els sòlids arquimedians són políedres convexos de cares regulars i vèrtexs uniformes però de cares no uniformes.
  • Els prismes i els antiprisma són els únics políedres convexos i uniformes restants. Tots els prismes es construeixen amb dues cares paral·leles anomenades directrius que li donen el nom al prisma i una sèrie de paral·lelograms, tants com costats tingui la cara directriu.
  • Els sòlids de Johnson són els políedres convexos, de cares regulars restants, només un d'ells és uniforme.
  • Les bipiràmides i trapezòedres són políedres de cares uniformes però no són de cares regulars, ni de vèrtexs o arestes uniformes.
  • Els sòlids de Catalan són políedres de cares no regulars i no totes les seves cares són uniformes.
  • Es diuen deltaedres els cossos que només estan formats per triangles equilàters, no constitueixen un grup excloent de sòlids.