Posició relativa de dos plans

Vegem ara les posicions relatives que poden presentar dos plans, $\pi(P;\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ i $\pi(Q;\overrightarrow{u'}, \overrightarrow{v'})$, ambdós expressats mitjançant les seves equacions generals:

$$\begin{array}{rrcl} \pi:&Ax+By+Cz+D &=&0\\ \pi':&A'x+B'y+C'z+D'&=&0\end{array}$$

Per trobar les posicions relatives, considerem el sistema format per les dues equacions, amb la seva matriu $M$ i la seva matriu ampliada $M'$:

$$M=\begin{pmatrix} A & B & C \\ A' & B' & C' \end{pmatrix}$$

$$M'=\begin{pmatrix}A & B & C & -D \\ A' & B' & C' & -D' \end{pmatrix}$$

Plans coincidents

$$rang (M) = rang (M') = 1$$

Equival a:

$$\displaystyle \frac{A}{A'}=\frac{B}{B'}=\frac{C}{C'}=\frac{D}{D'}$$

Sistema compatible indeterminat. La solució del sistema depèn de dos paràmetres. Els plans són coincidents.

Donats els plans $\pi$ i $\pi'$'

$$\begin{array}{rrcl}\pi:& 2x - 3y + z - 1 &=& 0\\ \pi':&-4x + 6y - 2z +2& =& 0\end {array}$$

Es tracta de plans coincidents ja que:

$$\displaystyle \frac{2}{-4}=\frac{-3}{6}=\frac{1}{-2}=\frac{-1}{2}$$

Plans paral·lels

$$rang(M) = 1, rang (M') = 2$$

Equival a:

$$\displaystyle \frac{A}{A'}=\frac{B}{B'}=\frac{C}{C'}\neq \frac{D}{D'}$$

Sistema incompatible. El sistema no té solució. No hi ha punts comuns. Els plans són paral·lels.

Donats els plans $\pi$ i $\pi'$'

$$\begin{array}{rrcl}\pi:& 2x - 3y + z - 1 &=& 0\\ \pi':&-4x + 6y - 2z +7& =& 0\end {array}$$

Es tracta de plans paral·lels ja que:

$$\displaystyle \frac{2}{-4}=\frac{-3}{6}=\frac{1}{-2}\neq\frac{-1}{7}$$

Plans secants

$$rang(M) = rang (M') = 2$$

Equival a:

$$\displaystyle \frac{A}{A'} \neq \frac{B}{B'} \mbox{ o } \frac{A}{A'} \neq \frac{C}{C'} \mbox{ o } \frac{B}{B'} \neq \frac{C}{C'}$$

Sistema compatible indeterminat. La solució del sistema depèn d'un paràmetre. Els plans són secants, és a dir, es tallen en una recta.

Donats els plans $\pi$ i $\pi'$

$$\begin{array}{rrcl}\pi:& 2x - 3y + z - 1 &=& 0\\ \pi':&-x + i - 2z +2& =& 0\end {array}$$

Es tracta de plans secants ja que:

$$\displaystyle \frac{2}{-1}\neq\frac{-3}{1}$$