Posición relativa de dos planos

Veamos ahora las posiciones relativas que pueden presentar dos planos, $\pi(P;\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ y $\pi(Q;\overrightarrow{u'}, \overrightarrow{v'})$, ambos expresados mediante sus ecuaciones generales:

$$\begin{array}{rrcl} \pi:&Ax+By+Cz+D &=&0\\ \pi':&A'x+B'y+C'z+D'&=&0\end{array}$$

Para encontrar las posiciones relativas, consideremos el sistema formado por las dos ecuaciones, con su matriz $M$ y su matriz ampliada $M'$:

$$M=\begin{pmatrix} A & B & C \\ A' & B' & C' \end{pmatrix}$$

$$M'=\begin{pmatrix}A & B & C & -D \\ A' & B' & C' & -D' \end{pmatrix}$$

Planos coincidentes

$$rango (M) = rango (M') = 1$$

Equivale a:

$$\displaystyle \frac{A}{A'}=\frac{B}{B'}=\frac{C}{C'}=\frac{D}{D'}$$

Sistema compatible indeterminado. La solución del sistema depende de dos parámetros. Los planos son coincidentes.

Dados los planos $\pi$ y $\pi'$'

$$\begin{array}{rrcl}\pi:& 2x - 3y + z - 1 &=& 0\\ \pi':&-4x + 6y - 2z +2& =& 0\end {array}$$

Se trata de planos coincidentes ya que:

$$\displaystyle \frac{2}{-4}=\frac{-3}{6}=\frac{1}{-2}=\frac{-1}{2}$$

Planos paralelos

$$rango(M) = 1, rango (M') = 2$$

Equivale a:

$$\displaystyle \frac{A}{A'}=\frac{B}{B'}=\frac{C}{C'}\neq \frac{D}{D'}$$

Sistema incompatible. El sistema no tiene solución. No hay puntos comunes. Los planos son paralelos.

Dados los planos $\pi$ y $\pi'$'

$$\begin{array}{rrcl}\pi:& 2x - 3y + z - 1 &=& 0\\ \pi':&-4x + 6y - 2z +7& =& 0\end {array}$$

Se trata de planos paralelos ya que:

$$\displaystyle \frac{2}{-4}=\frac{-3}{6}=\frac{1}{-2}\neq\frac{-1}{7}$$

Planos secantes

$$rango(M) = rango (M') = 2$$

Equivale a:

$$\displaystyle \frac{A}{A'} \neq \frac{B}{B'} \mbox{ o } \frac{A}{A'} \neq \frac{C}{C'} \mbox{ o } \frac{B}{B'} \neq \frac{C}{C'}$$

Sistema compatible indeterminado. La solución del sistema depende de un parámetro. Los planos son secantes, es decir, se cortan en una recta.

Dados los planos $\pi$ y $\pi'$

$$\begin{array}{rrcl}\pi:& 2x - 3y + z - 1 &=& 0\\ \pi':&-x + y - 2z +2& =& 0\end {array}$$

Se trata de planos secantes ya que:

$$\displaystyle \frac{2}{-1}\neq\frac{-3}{1}$$