Equacions implícites de la recta a l'espai

A partir de les equacions contínues de la recta $r$ obtenim: $$\left.\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{x-a_1}{v_1} =\frac{y-a_2}{v_2} & \Longrightarrow & v_2(x-a_1) = v_1(y-a_2) \\ \displaystyle \frac{x-a_1}{v_1} =\frac{z-a_3}{v_3}& \Longrightarrow & v_3(x-a_1)=v_1(z-a_3)\end{array}\right\} \Longrightarrow \left. \\ \begin{array}{rcl} v_2\cdot x-v_1\cdot y+(a_2v_2-a_1v_2) &=&0 \\ v_3\cdot x-v_1\cdot z+(a_3v_1-a_1v_3) &=&0\end{array}\right\}$$

Encara que generalment aquestes equacions es solen escriure com $$\left. \begin{array}{rcl} Ax+By+Cz+D&=&0 \\ A'x+B'y+C'z+D'&=&0\end{array}\right\}$$ i es coneixen com equacions implícites de la recta.

La recta que passa pel punt $A = (-1, 1, 3)$ i que té $\overrightarrow{v}=(3,-2,1)$ per vector director, té les equacions contínues: $$\displaystyle \frac{x+1}{3}=\frac{y-1}{-2}=z-3$$ Si separem i operem tenim: $$\left.\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{x+1}{3} &=& \frac{y-1}{-2} \\ \displaystyle \frac{x+1}{3} &=& z-3\end{array}\right\} \Rightarrow \left.\begin{array}{rcl} -2(x+1) &=& 3(y-1) \\ x+1 &=& 3(z-3) \end{array}\right\}\Rightarrow \left.\begin{array}{rcl} -2x-2 &=& 3y-3 \\ x+1 &=& 3z-9 \end{array}\right\} \\ \Rightarrow \left.\begin{array}{rcl}-2x-2-3y+3 &=& 0 \\ x+1 -3z+9&=& 0 \end{array}\right\}\Rightarrow \left.\begin{array}{rcl}-2x-3y+1 &=& 0 \\ x -3z+10&=& 0\end{array}\right\}$$

que són les equacions implícites de la recta.

Troba les equacions paramètriques i determina un vector director de la recta $r$. Les equacions implícites de $r$ són: $$r:\left\{\begin{array}{rcl} x+2y-z-3 &=&0 \\ 2x+5y+2z-4&=&0\end{array}\right.$$ Per transformar les equacions implícites en paramètriques resoldrem el sistema pel mètode de Cramer.

Els passos a seguir són els següents:

• Escollim un menor d'ordre dos el determinant sigui diferent de zero:$$\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{matrix}\right|=5-4=1 \neq 0$$

• Substituïm la incògnita que no intervé en aquest menor (en aquest cas $z$), per un paràmetre $k$. Tenim per tant, $z = k$, i aïllem les variables:$$\left. \begin{array}{rcl} x+2y-z-3&=&0 \\ 2x+5y+2z-4&=&0 \end{array}\right\} \\ \left. \begin{array}{rcl} x+2y-k-3&=&0 \\ 2x+5y+2k-4&=&0 \end{array}\right\} \\ \left. \begin{array}{rcl} x+2y&=&k+3\\2x+5y &=& -2k+4\end{array}\right\}$$

• Finalment apliquem la regla de Cramer: $$\displaystyle x=\frac{\left|\begin{matrix} k+3 & 2 \\ -2k+4 & 5 \end{matrix} \right|}{1}=5k+15+4k-8=7+9k$$

$$\displaystyle x=\frac{\left|\begin{matrix} 1 & k+3 \\ 2 & -2k+4 \end{matrix} \right|}{1}=-2k+4-2k-6=-2-4k$$

Per tant les equacions paramètriques són: $$\left\{ \begin{array}{rcl} x&=& 7+9k\\ y&=& -2-4k \\ z&=&k\end{array}\right.$$i un punt i un vector de la recta són: $$ A=(7,-2,0) \qquad \overrightarrow{v}=(9,-4,1)$$