Equació vectorial del pla

Per determinar un pla en l'espai es necessiten un punt i dues direccions diferents. Aquestes direccions vénen donades per dos vectors linealment independents que s'anomenen vectors directors del pla.

És important ressaltar que és equivalent tenir un punt i dos vectors linealment independents de tenir tres punts no alineats. Vegem-ho:

Si tenim tres punts $A, B,$ i $C$, podem obtenir 1 punt i dos vectors fent: $$\begin {array}{rcl}P&=&A \\ \overrightarrow{v}&=&\overrightarrow{AB} \\ \overrightarrow{w}&=&\overrightarrow{AC}\end{array}$$

Evidentment, si tenim 1 punt $P$ i dos vectors $\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{w}$ podem obtenir tres punts fent: $$\begin{array}{rcl} A&=&P \\ B&=& P + \overrightarrow{v} \\ C&=& P+\overrightarrow{w}\end{array}$$ Considerem ara en el sistema de referència $\{O; \overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\}$ el pla $\pi$ que passa pel punt $P$ i que té com a vectors directors $\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{w}$. Ho simbolitzarem com $\pi(A,\overrightarrow{v},\overrightarrow{w})$.

Com en el cas de la recta, podem expressar qualsevol punt del pla aplicant una combinació lineal de dos vectors directors del pla a un punt del mateix.

Així tenim que l'equació vectorial és: $$P = A +\lambda \overrightarrow{v} +\mu \overrightarrow{w}$$ que expressada en coordenades és: $$(x,y,z)=(a_1,a_2,a_3) +\lambda \cdot (v_1,v_2,v_3)+\mu \cdot (w_1,w_2,w_3)$$

Donats els punts $A = (1,-3, 5), B = (1, 2,-1)$ i $C = (-2,-1, 0)$ trobeu l'equació vectorial del pla que determinen.

Busquem vectors directors del pla fent: $$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{v}&=&\overrightarrow{AB}=B-A=(1,2,-1)-(1,-3,5)=(0,5,-6) \\ \overrightarrow{w}&=&\overrightarrow{AC}=C-A=(-2,-1,0)-(1,-3,5)=(-3,2,-5)\end{array}$$ i així tenim que l'equació vectorial és: $$(x, y, z) = (1,-3, 5) + \lambda \cdot (0, 5,-6) + \mu \cdot (-3, 2,-5)$$