Ecuación vectorial del plano

Para determinar un plano en el espacio se necesitan un punto y dos direcciones distintas. Estas direcciones vienen dadas por dos vectores linealmente independientes que se llaman vectores directores del plano.

Es importante resaltar que es equivalente tener un punto y dos vectores linealmente independientes que tener tres puntos no alineados. Veámoslo:

Si tenemos tres puntos $A, B,$ y $C$, podemos obtener 1 punto y dos vectores haciendo: $$\begin {array}{rcl}P&=&A \\ \overrightarrow{v}&=&\overrightarrow{AB} \\ \overrightarrow{w}&=&\overrightarrow{AC}\end{array}$$

Evidentemente, si tenemos 1 punto $P$ y dos vectores $\overrightarrow{v}$ y $\overrightarrow{w}$ podemos obtener tres puntos haciendo: $$\begin{array}{rcl} A&=&P \\ B&=& P + \overrightarrow{v} \\ C&=& P+\overrightarrow{w}\end{array}$$ Consideremos ahora en el sistema de referencia $\{O; \overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\}$ el plano $\pi$ que pasa por el punto $P$ y que tiene por vectores directores $\overrightarrow{v}$ y $\overrightarrow{w}$. Lo simbolizaremos por $\pi(A,\overrightarrow{v},\overrightarrow{w})$.

Como en el caso de la recta, podemos expresar cualquier punto del plano aplicando una combinación lineal de dos vectores directores del plano a un punto del mismo.

Así tenemos que la ecuación vectorial es: $$P = A +\lambda \overrightarrow{v} +\mu \overrightarrow{w}$$ que expresada en coordenadas es: $$(x,y,z)=(a_1,a_2,a_3) +\lambda \cdot (v_1,v_2,v_3)+\mu \cdot (w_1,w_2,w_3)$$

Dados los puntos $A = (1,-3, 5), B = (1, 2,-1)$ y $C = (-2,-1, 0)$ encontrad la ecuación vectorial del plano que determinan.

Buscamos vectores directores del plano haciendo: $$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{v}&=&\overrightarrow{AB}=B-A=(1,2,-1)-(1,-3,5)=(0,5,-6) \\ \overrightarrow{w}&=&\overrightarrow{AC}=C-A=(-2,-1,0)-(1,-3,5)=(-3,2,-5)\end{array}$$ y así tenemos que la ecuación vectorial es: $$(x, y, z) = (1,-3, 5) + \lambda \cdot (0, 5,-6) + \mu \cdot (-3, 2,-5)$$