Distància entre dos punts a l'espai

Donats dos punts de l'espai $A=(a_1,a_2,a_3)$ i $B=(b_1,b_2,b_3)$ es defineix la distància entre ells de la manera següent:

La distància entre els punts $A$ i $B$ és el mòdul del vector $\overrightarrow{AB}$,

$$\text{d}(A,B)=|\overrightarrow{AB}|= \sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2}$$

Aquesta distància compleix les propietats següents:

1. $\text{d}(A,B)\geqslant0\ $ i $\ \text{d}(A,B)=0 \Leftrightarrow \ A=B$ (Definida positiva)
2. $\text{d}(A,B)=\text{d}(B,A)$ (Simètrica)
3. $\text{d}(A,B)\leqslant \text{d}(A,C)+\text{d}(C,B)$ (Desigualtat triangular)

A partir d'aquí determinarem la distància entre dos elements qualssevol de l'espai a partir de la distància entre dos punts, tenint en compte que sempre s'agafarà la distància més petita possible entre punts d'un i altre element.

Calcula la distància entre els punts $A = (0, 2, 0)$ i $B = (7, 2, -1)$.

Podem aplicar la fórmula directament:

$$\begin{array}{rl} \text{d}(A,B)=& |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2 +(b_3-a_3)^2} \\ =&\sqrt{(7-0)^2+(2-2)^2+(-1-0)^2}=\sqrt{50} \end{array}$$