Distancia entre dos puntos en el espacio

Dados dos puntos en el espacio $A=(a_1,a_2,a_3)$ y $B=(b_1,b_2,b_3)$ se define la distancia entre ellos de la siguiente manera:

La distancia entre los puntos $A$ y $B$ es el módulo del vector $\overrightarrow{AB}$,

$$\text{d}(A,B)=|\overrightarrow{AB}|= \sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2}$$

Esta distancia cumple las propiedades siguientes:

1. $\text{d}(A,B)\geqslant0\ $ y $\ \text{d}(A,B)=0 \Leftrightarrow \ A=B$ (Definida positiva)
2. $\text{d}(A,B)=\text{d}(B,A)$ (Simétrica)
3. $\text{d}(A,B)\leqslant \text{d}(A,C)+\text{d}(C,B)$ (Desigualdad triangular)

A partir de aquí determinaremos la distancia entre dos elementos cualesquiera del espacio a partir de la distancia entre dos puntos, teniendo en cuenta que siempre se cogerá la distancia más pequeña posible entre puntos de uno y otro elemento.

Calcula la distancia entre los puntos $A = (0, 2, 0)$ y $B = (7, 2, -1)$.

Podemos aplicar la fórmula directamente:

$$\begin{array}{rl} \text{d}(A,B)=& |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2 +(b_3-a_3)^2} \\ =&\sqrt{(7-0)^2+(2-2)^2+(-1-0)^2}=\sqrt{50} \end{array}$$