Distància d'un punt a un pla a l'espai

La distància entre un punt $P$ i un pla $\pi$, $\text{d}(P,\pi)$, és la mínima de les distàncies entre $P$ i un punt qualsevol del pla.

• Si $P$ és un punt del pla $\pi$, llavors la distància és zero.
• Si $P$ no és un punt del pla $\pi$, la distància de $P$ a $\pi$ és el mòdul del vector $\overrightarrow{PP'}$, on $P'$ és la projecció ortogonal de $P$ sobre el pla $\pi$.

No obstant això, hi ha una fórmula molt més pràctica (d'obtenció una mica molesta) que presentem a continuació:

Sigui $P =(p_1,p_2,p_3)$ i sigui $\pi: Ax+By+Cz+D = 0$. Llavors,

$$\text{d}(P,\pi)=\dfrac{|A\cdot p_1+B\cdot p_2+C\cdot p_3+D|} {\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

Calcula la distància del punt $P=(-2,0,3)$ al pla $\pi:4x+2y-4z+3=0$.

Podem aplicar directament la fórmula: $$\text{d}(P,\pi)=\dfrac{|A\cdot p_1+B\cdot p_2+C\cdot p_3+D|} {\sqrt{A^2+B^2+C^2}} = \dfrac{|4\cdot(-2)+2\cdot0-4\cdot3+3|}{\sqrt{4^2+2^2+(-4)^2}} = \dfrac{17}{6}$$