Distancia de un punto a un plano en el espacio

La distancia entre un punto $P$ y un plano $\pi$, $\text{d}(P,\pi)$, es la mínima de las distancias entre $P$ y un punto cualquiera del plano.

• Si $P$ es un punto del plano $\pi$, entonces la distancia es cero.
• Si $P$ no es un punt del plano $\pi$, la distancia de $P$ a $\pi$ es el módulo del vector $\overrightarrow{PP'}$, donde $P'$ la proyección ortogonal de $P$ sobre el plano $\pi$.

Sin embargo, existe una fórmula mucho más práctica (de obtención un poco engorrosa) que presentamos a continuación:

Sea $P =(p_1,p_2,p_3)$ y sea $\pi: Ax+By+Cz+D = 0$. Entonces,

$$\text{d}(P,\pi)=\dfrac{|A\cdot p_1+B\cdot p_2+C\cdot p_3+D|} {\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

Calcula la distancia del punto $P=(-2,0,3)$ al plano $\pi:4x+2y-4z+3=0$.

Podemos aplicar directamente la fórmula: $$\text{d}(P,\pi)=\dfrac{|A\cdot p_1+B\cdot p_2+C\cdot p_3+D|} {\sqrt{A^2+B^2+C^2}} = \dfrac{|4\cdot(-2)+2\cdot0-4\cdot3+3|}{\sqrt{4^2+2^2+(-4)^2}} = \dfrac{17}{6}$$