Angle entre dues rectes

A l'espai, dues rectes poden ser coincidents, paral·leles, secants o bé creuar-se. Els angles que determinen es defineixen de manera diferent en cada cas. Així:

• Si dues rectes són coincidents o paral·leles formen un angle de $0^\circ$.
• Si dues rectes són secants, determinen quatre angles iguals dos a dos. El menor d'aquest angle es defineix com l'angle entre les rectes.
• Si dues rectes es creuen, l'angle entre elles és el més petit dels angles que forma la paral·lela a una de les rectes que talla a l'altra.

Per tant, igual que succeïa en el pla, el cosinus de l'angle $\alpha$ coincidirà (excepte el signe) amb l'angle format pels vectors directors de la recta. Per tant,

$$\cos(\widehat{r\ s})=\cos\alpha=|\cos(\widehat{\vec{u}\ \vec{v}})|= \Big|\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}\Big|= \dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|}$$

on $\vec{u}$ i $\vec{v}$ són els vectors directors de les rectes $r$ i $s$.

Per tant,

$$\alpha=\arccos\Big(\dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|} \Big) \qquad \alpha \in [0,\dfrac{\pi}{2}]$$

Finalment, si $\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)$ i $\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)$, l'expressió en components de la fórmula anterior és:

$$\cos(\alpha)=\dfrac{|u_1 v_1+u_2 v_2+u_3 v_3|} {\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}}$$

Calcula l'angle que formen les rectes: $$ r:\dfrac{x+2}{5}=\dfrac{y-1}{2}=z \quad \text{ i } \quad s:\left\{ \begin{array}{l} x+y+2z=3 \\ x-y-z=1 \end{array} \right. $$

Primer hem de buscar un vector director de $r$ i un altre de $s$:

• Un vector director de $r$ és $\vec{u}=(5,2,1)$.
• Per trobar un vector director de $s$, escollim $z$ com a paràmetre i resolem el sistema d'equacions per Cramer obtenint:

$$ s: \left\{ \begin{array}{l} x=2-\dfrac{1}{2}k \\ y=1-\dfrac{3}{2}k \\ z=k \end{array} \right. $$

i per tant un vector director de $s$ és $\vec{u}=(-1,-3,2)$.

Ara ja estem en condicions d'aplicar la fórmula descrita anteriorment:

$$\begin{array}{rl} \cos(\alpha)=&\dfrac{|u_1 v_1+u_2 v_2+u_3 v_3|} {\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}}= \dfrac{|5\cdot1+2\cdot3+1\cdot(-2)|} {\sqrt{5^2+2^2+1^2}\sqrt{1^2+3^2+(-2)^2}} \\ =& \dfrac{9}{\sqrt{30}\sqrt{14}}=0.439 \end{array}$$

Per tant,

$$\alpha=\arccos(0.439)=63,95^\circ$$