Ángulo entre dos rectas

En el espacio, dos rectas pueden ser coincidentes, paralelas, secantes o bien cruzarse. Los ángulos que determinan se definen de manera distinta en cada caso. Así:

• Si dos rectas son coincidentes o paralelas forman un ángulo de $0^\circ$.
• Si dos rectas son secantes, determinan cuatro ángulos iguales dos a dos. El menor de dichos ángulos se define como el ángulo entre las rectas.
• Si dos rectas se cruzan, el ángulo entre ellas es el más pequeño de los ángulos que forma la paralela a una de las rectas que corta a la otra.

Por tanto, al igual que sucedía en el plano, el coseno del ángulo $\alpha$ coincidirá (excepto el signo) con el ángulo formado por los vectores directores de la recta. Por tanto,

$$\cos(\widehat{r\ s})=\cos\alpha=|\cos(\widehat{\vec{u}\ \vec{v}})|= \Big|\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}\Big|= \dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|}$$

siendo $\vec{u}$ y $\vec{v}$ vectores directores de las rectas $r$ y $s$.

Por tanto,

$$\alpha=\arccos\Big(\dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|} \Big) \qquad \alpha \in [0,\dfrac{\pi}{2}]$$

Por último, si $\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)$ y $\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)$, la expresión en componentes de la fórmula anterior es:

$$\cos(\alpha)=\dfrac{|u_1 v_1+u_2 v_2+u_3 v_3|} {\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}}$$

Calcula el ángulo que forman las rectas: $$ r:\dfrac{x+2}{5}=\dfrac{y-1}{2}=z \quad \text{ y } \quad s:\left\{ \begin{array}{l} x+y+2z=3 \\ x-y-z=1 \end{array} \right. $$

Primero debemos buscar un vector director de $r$ y otro de $s$:

• Un vector director de $r$ es $\vec{u}=(5,2,1)$.
• Para encontrar un vector director de $s$, escogemos $z$ como parámetro y resolvemos el sistema de ecuaciones por Cramer obteniendo:

$$ s: \left\{ \begin{array}{l} x=2-\dfrac{1}{2}k \\ y=1-\dfrac{3}{2}k \\ z=k \end{array} \right. $$

y por tanto un vector director de $s$ es $\vec{u}=(-1,-3,2)$.

Ahora ya estamos en condiciones de aplicar la fórmula descrita anteriormente:

$$\begin{array}{rl} \cos(\alpha)=&\dfrac{|u_1 v_1+u_2 v_2+u_3 v_3|} {\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}}= \dfrac{|5\cdot1+2\cdot3+1\cdot(-2)|} {\sqrt{5^2+2^2+1^2}\sqrt{1^2+3^2+(-2)^2}} \\ =& \dfrac{9}{\sqrt{30}\sqrt{14}}=0.439 \end{array}$$

Por tanto,

$$\alpha=\arccos(0.439)=63,95^\circ$$