Angle entre dos plans i entre recta i pla

Dos plans en l'espai poden ser coincidents, paral·leles o secants. Vegem com definim l'angle entre ells en cada cas:

• Si els dos plans són coincidents o paral·lels, formen un angle de $0^\circ$.
• Si els dos plans són secants, determinen quatre angles, iguals dos a dos. El més petit es defineix com angle entre els plans.

Per calcular l'angle entre els dos plans, el que farem serà determinar l'angle entre els vectors normals de cada pla.

Per això convé recordar que donat un pla $\pi$ d'equació $\pi: Ax + by + cz + D = 0$, un vector perpendicular a aquest pla (vector normal al pla) és $\vec{n}=(A, B, C)$

Així, si tenim:

• $\pi_1$ pla amb vector normal $\vec{n}_1$.
• $\pi_2$ pla amb vector normal $\vec{n}_2$.

Llavors: $$\cos(\widehat{\pi_1 \ \pi_2})=\cos\alpha= |\cos(\widehat{\vec{n}_1 \ \vec{n}_2})|= \Big| \dfrac{\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|}\Big|= \dfrac{|\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|}$$

Per tant, $$\alpha =\arccos\Big(\dfrac{|\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2|} {|\vec{n}_1||\vec{n}_2|} \Big) \qquad \alpha \in [0,\dfrac{\pi}{2}]$$

Si com hem dit abans prenem:

$$\vec{n}_1=(A_1,B_1,C_1)$$

$$\vec{n}_2=(A_2,B_2,C_2)$$

La fórmula anterior queda:

$$\cos(\alpha)=\dfrac{|A_1 A_2+B_1 B_2+C_1 C_2|} {\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}$$

Nota: És important tenir present que si tenim un pla en forma vectorial o paramètrica, podem obtenir un vector normal al pla fent el producte vectorial entre els vectors directors del pla.

També és destacable que podem determinar completament un pla mitjançant un vector normal a ell i un punt. Per a això, utilitzarem l'equació general, on només ens queda $D$ com incògnita, i que trobarem substituint el punt i resolent.

Donats els plans: $$\pi_1: 3x-y+2z+1=0 \qquad \pi_2: 2x+y-5z-1=0$$

Trobeu l'angle que formen.

Primer trobem els vectors normals:

$$\vec{n}_1= (3, -1, 2)$$

$$\vec{n}_2= (2, 1, -5)$$

i ja podem aplicar la fórmula: $$\begin{array}{rl} \alpha =& \arccos \Big( \dfrac{|A_1 A_2+B_1 B_2+C_1 C_2|} {\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}} \Big) \\ =& \arccos\Big( \dfrac{|3\cdot2+(-1)\cdot1+2\cdot(-5)|} {\sqrt{3^2+1^2+2^2}\sqrt{2^2+1^2+(-5)^2}} \Big) \\ =& \arccos \Big( \dfrac{5}{\sqrt{420}}\Big)= \arccos(0.244)= 75.88^\circ \end{array}$$

Una recta pot estar inclosa en un pla, ser paral·lela a ell, o bé ser secants. Vegem com es defineix l'angle entre ells en cada cas:

• Si la recta està inclosa en el pla o ambdós són paral·lels, la recta i el pla formen un angle de $0^\circ$.
• Si la recta i el pla són secants, definim l'angle $\alpha$ entre la recta i el pla com l'angle que forma la recta amb la seva projecció ortogonal sobre el pla.

Fixem-nos que definint l'angle entre la recta i el pla com l'angle entre la recta i la seva projecció ortogonal sobre el pla, podem realitzar el càlcul a partir de l'angle entre el vector director de la recta i el vector normal al pla. Això és degut a que els 3 vectors (recta, projecció i normal al pla) són coplanaris (estan en un mateix pla), i a més l'angle entre el vector normal al pla i el vector director de la projecció és recte i constant. Per tant, si tenim:

• $\pi$: pla.
• $r$: recta.
• $s$: recta perpendicular al pla.
• $\vec{v}_r$: vector director de la recta $r$.
• $\vec{v}_p$: vector director de la projecció de la recta $r$ sobre el pla.
• $\vec{n}$: vector normal (perpendicular) al pla (i director de $s$).

Llavors:

$$\sin(\widehat{r\ \pi})=\sin\alpha=\cos(\widehat{r\ s}) =|\cos(\widehat{\vec{n} \ \vec{v}_r})|= \Big| \dfrac{\vec{v}_r\cdot\vec{n}}{|\vec{v}_r||\vec{n}|}\Big|$$

$$\alpha =\arcsin\Big(\dfrac{|\vec{v}_r\cdot\vec{n}|}{|\vec{v}_r||\vec{n}|} \Big) \qquad \alpha \in [0,\dfrac{\pi}{2}]$$

A més, si $\vec{v}_r=(v_1,v_2,v_3)$ i $\vec{n}=(A,B,C)$, podem expressar la fórmula anterior en components com: $$\sin\alpha =\dfrac{|v_1 A+v_2 B+v_3 C|} {\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

Calcula l'angle que formen la recta $r$ i el pla $\pi$:

$$r:\left\{ \begin{array}{l} x=3+k \\ y=-2+k \\ z=5 \end{array} \right. \qquad \pi: 3x-4y+5z-1=0$$

Busquem un vector director de la recta i el vector normal al pla:

$$\vec{v}=(1,1,0)$$

$$\vec{n}=(3,-4,5)$$

Per tant:

$$\begin{array}{rl} \alpha=& \arcsin\Big( \dfrac{|v_1 A+v_2 B+v_3 C|} {\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \Big) \\ =& \arcsin\Big( \dfrac{|1\cdot3+1\cdot(-4)+0\cdot5|} {\sqrt{1^2+1^2+0^2}\sqrt{3^2+(-4)^2+5^2}} \Big) \\ =& \arcsin\Big( \dfrac{1}{\sqrt{2}\sqrt{50}} \Big)= \arcsin{0.1}=5.74^\circ \end{array}$$