Ángulo entre dos planos y entre recta-plano

Dos planos en el espacio pueden ser coincidentes, paralelas o secantes. Veamos como definimos el ángulo entre ellos en cada caso:

• Si los dos planos son coincidentes o paralelos, forman un ángulo de $0^\circ$.
• Si los dos planos son secantes, determinan cuatro ángulos diedrales, iguales dos a dos. El más pequeño se define como ángulo entre los planos.

Para calcular el ángulo entre ambos planos, lo que haremos será determinar el ángulo entre los vectores normales de cada plano.

Para ello conviene recordar que dado un plano $\pi$ de ecuación $\pi: Ax + by + cz + D = 0$, un vector perpendicular a dicho plano (vector normal al plano) es $\vec{n}=(A, B, C)$

Así, si tenemos:

• $\pi_1$ plano con vector normal $\vec{n}_1$.
• $\pi_2$ plano con vector normal $\vec{n}_2$.

Entonces: $$\cos(\widehat{\pi_1 \ \pi_2})=\cos\alpha= |\cos(\widehat{\vec{n}_1 \ \vec{n}_2})|= \Big| \dfrac{\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|}\Big|= \dfrac{|\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|}$$

Por tanto, $$\alpha =\arccos\Big(\dfrac{|\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2|} {|\vec{n}_1||\vec{n}_2|} \Big) \qquad \alpha \in [0,\dfrac{\pi}{2}]$$

Si como hemos dicho antes tomamos:

$$\vec{n}_1=(A_1,B_1,C_1)$$

$$\vec{n}_2=(A_2,B_2,C_2)$$

La fórmula anterior queda:

$$\cos(\alpha)=\dfrac{|A_1 A_2+B_1 B_2+C_1 C_2|} {\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}$$

Nota: Es importante tener presente que si tenemos un plano en forma vectorial o paramétrica, podemos obtener un vector normal al plano haciendo el producto vectorial entre los vectores directores del plano.

También es destacable que podemos determinar completamente un plano mediante un vector normal a él y un punto. Para ello, utilizaremos la ecuación general, donde sólo nos queda $D$ como incógnita, y que encontraremos sustituyendo el punto y resolviendo.

Dados los planos: $$\pi_1: 3x-y+2z+1=0 \qquad \pi_2: 2x+y-5z-1=0$$

Encontrad el ángulo que forman.

Primero encontramos los vectores normales:

$$\vec{n}_1= (3, -1, 2)$$

$$\vec{n}_2= (2, 1, -5)$$

y ya podemos aplicar la fórmula: $$\begin{array}{rl} \alpha =& \arccos \Big( \dfrac{|A_1 A_2+B_1 B_2+C_1 C_2|} {\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}} \Big) \\ =& \arccos\Big( \dfrac{|3\cdot2+(-1)\cdot1+2\cdot(-5)|} {\sqrt{3^2+1^2+2^2}\sqrt{2^2+1^2+(-5)^2}} \Big) \\ =& \arccos \Big( \dfrac{5}{\sqrt{420}}\Big)= \arccos(0.244)= 75.88^\circ \end{array}$$

Una recta puede estar incluida en un plano, ser paralela a él, o bien ser secantes. Veamos cómo se define el ángulo entre ellos en cada caso:

• Si la recta está incluida en el plano o ambos son paralelos, la recta y el plano forman un ángulo de $0^\circ$.
• Si la recta y el plano son secantes, definimos el ángulo $\alpha$ entre la recta y el plano como el ángulo que forma la recta con su proyección ortogonal sobre el plano.

Fijémonos que definiendo el ángulo entre la recta y el plano como el ángulo entre la recta y su proyección ortogonal sobre el plano, podemos realizar el cálculo a partir del ángulo entre el vector director de la recta y el vector normal al plano. Esto se debe a que los 3 vectores (recta, proyección y normal al plano) son coplanarios -están en un mismo plano-, y además el ángulo entre el vector normal al plano y el vector director de la proyección es recto y constante. Por tanto, si tenemos:

• $\pi$: plano.
• $r$: recta.
• $s$: recta perpendicular al plano.
• $\vec{v}_r$: vector director de la recta $r$.
• $\vec{v}_p$: vector director de la proyección de la recta sobre el plano.
• $\vec{n}$: vector normal (perpendicular) al plano (y director de $s$).

Entonces:

$$\sin(\widehat{r\ \pi})=\sin\alpha=\cos(\widehat{r\ s}) =|\cos(\widehat{\vec{n} \ \vec{v}_r})|= \Big| \dfrac{\vec{v}_r\cdot\vec{n}}{|\vec{v}_r||\vec{n}|}\Big|$$

$$\alpha =\arcsin\Big(\dfrac{|\vec{v}_r\cdot\vec{n}|}{|\vec{v}_r||\vec{n}|} \Big) \qquad \alpha \in [0,\dfrac{\pi}{2}]$$

Además, si $\vec{v}_r=(v_1,v_2,v_3)$ y $\vec{n}=(A,B,C)$, podemos expresar la fórmula anterior en componentes como: $$\sin\alpha =\dfrac{|v_1 A+v_2 B+v_3 C|} {\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

Calcula el ángulo que forman la recta $r$ y el plano $\pi$:

$$r:\left\{ \begin{array}{l} x=3+k \\ y=-2+k \\ z=5 \end{array} \right. \qquad \pi: 3x-4y+5z-1=0$$

Buscamos un vector director de la recta, y el vector normal al plano:

$$\vec{v}=(1,1,0)$$

$$\vec{n}=(3,-4,5)$$

Por tanto:

$$\begin{array}{rl} \alpha=& \arcsin\Big( \dfrac{|v_1 A+v_2 B+v_3 C|} {\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \Big) \\ =& \arcsin\Big( \dfrac{|1\cdot3+1\cdot(-4)+0\cdot5|} {\sqrt{1^2+1^2+0^2}\sqrt{3^2+(-4)^2+5^2}} \Big) \\ =& \arcsin\Big( \dfrac{1}{\sqrt{2}\sqrt{50}} \Big)= \arcsin{0.1}=5.74^\circ \end{array}$$