Suma, diferència, producte i divisió
Suma
En el conjunt de les funcions reals de variable real podem definir diverses operacions.
La funció suma $f + g$ és una funció que assigna a cada nombre real $x$ la suma de les imatges per la funció $f$ i per la funció $g$: $$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$$
La funció suma està definida quan $x$ pertany simultàniament al domini de $f$ i de $g$: $$Dom(f+g)=Dom(f)\cap Dom(g)$$
Donades les funcions $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$ i $g(x)=x-2$ calcula $(f + g) (x)$.
$$(f+g)(x)=f(x)+g(x)=\displaystyle \frac{1}{x}+x-2=\frac{x^2-2x+1}{x}$$ Per tant, $$\displaystyle (f+g)(x)=\frac{x^2-2x+1}{x}$$
Diferència
La funció diferència $f-g$ és una funció que assigna a cada nombre real $x$ la diferència de les imatges per la funció $f$ i per la funció $g$. $$(f-g)(x)=f(x)-g(x)$$
La funció diferència està definida quan $x$ pertany simultàniament al domini de $f$ i de $g$: $$Dom(f-g)=Dom(f)\cup Dom(g)$$
Donades les funcions $f(x)=\displaystyle \frac{1}{x}$ i $g(x)=x-2$ calcula $(f - g) (x)$.
$$(f-g)(x)=f(x)-g(x)=\displaystyle \frac{1}{x}-(x-2)=\frac{-x^2+2x+1}{x}$$ Per tant, $$(f-g)(x)=\displaystyle \frac{-x^2+2x+1}{x}$$
Producte
La funció producte $f \cdot g$ és una funció que assigna a cada nombre real $x$ el producte de les imatges per la funció $f$ i per la funció $g$. $$(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)$$
La funció producte està definida quan $x$ pertany simultàniament al domini de $f$ i de $g$: $$Dom(f\cdot g)=Dom(f) \cap Dom(g)$$
Donades les funcions $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$ i $g(x)=x-2$ calcula $(f \cdot g) (x)$.
$$(f \cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)=\frac{1}{x}\cdot (x-2)=\frac{x-2}{x}$$ Per tant, $$\displaystyle (f \cdot g)(x)=\frac{x-2}{x}$$
Divisió
La funció quocient $\displaystyle \frac{f}{g}$ és una funció que assigna a cada nombre real $x$ el quocient de les imatges per la funció $f$ i per la funció $g$. $$\displaystyle \Big(\frac{f}{g}\Big)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$$
La funció quocient està definida quan $x$ pertany simultàniament al domini de $f$ i de $g$, i a més es compleix que $g(x)\neq 0$. És a dir: $$\displaystyle Dom\Big(\frac{f}{g}\Big)=Dom(f) \cap Dom(g)-\{x \in \mathbb{R} \mid g(x)=0\}$$
Donades les funcions $f(x)=x^2+3$ i $g(x)=x^2+1$ calcula $\displaystyle \Big(\frac{f}{g}(x)\Big)$:
$$\displaystyle \Big(\frac{f}{g}\Big)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x^2+3}{x^2+1}$$ Per tant, $$\displaystyle \Big(\frac{f}{g}\Big)(x)=\frac{x^2+3}{x^2+1}$$