Suma, diferencia, producto y división
Suma
En el conjunto de las funciones reales de variable real podemos definir diversas operaciones.
La función suma $f + g$ es una función que asigna a cada número real $x$ la suma de las imágenes por la función $f$ y por la función $g$: $$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$$
La función suma está definida cuando $x$ pertenece simultáneamente al dominio de $f$ y de $g$: $$Dom(f+g)=Dom(f)\cap Dom(g)$$
Dadas las funciones $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$ y $g(x)=x-2$ calcula $(f + g) (x)$.
$$(f+g)(x)=f(x)+g(x)=\displaystyle \frac{1}{x}+x-2=\frac{x^2-2x+1}{x}$$ Por tanto, $$\displaystyle (f+g)(x)=\frac{x^2-2x+1}{x}$$
Diferencia
La función diferencia $f-g$ es una función que asigna a cada número real $x$ la diferencia de las imágenes por la función $f$ y por la función $g$. $$(f-g)(x)=f(x)-g(x)$$
La función diferencia está definida cuando $x$ pertenece simultáneamente al dominio de $f$ y de $g$: $$Dom(f-g)=Dom(f)\cup Dom(g)$$
Dadas las funciones $f(x)=\displaystyle \frac{1}{x}$ y $g(x)=x-2$ calcula $(f - g) (x)$.
$$(f-g)(x)=f(x)-g(x)=\displaystyle \frac{1}{x}-(x-2)=\frac{-x^2+2x+1}{x}$$ Por tanto, $$(f-g)(x)=\displaystyle \frac{-x^2+2x+1}{x}$$
Producto
La función producto $f \cdot g$ es una función que asigna a cada número real $x$ el producto de las imágenes por la función $f$ y por la función $g$. $$(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)$$
La función producto está definida cuando $x$ pertenece simultáneamente al dominio de $f$ y de $g$: $$Dom(f\cdot g)=Dom(f) \cap Dom(g)$$
Dadas las funciones $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$ y $g(x)=x-2$ calcula $(f \cdot g) (x)$.
$$(f \cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)=\frac{1}{x}\cdot (x-2)=\frac{x-2}{x}$$ Por tanto, $$\displaystyle (f \cdot g)(x)=\frac{x-2}{x}$$
División
La función cociente $\displaystyle \frac{f}{g}$ es una función que asigna a cada número real $x$ el cociente de las imágenes por la función $f$ y por la función $g$. $$\displaystyle \Big(\frac{f}{g}\Big)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$$
La función cociente está definida cuando $x$ pertenece simultáneamente al dominio de $f$ y de $g$, y además se cumple que $g(x)\neq 0$. Es decir: $$\displaystyle Dom\Big(\frac{f}{g}\Big)=Dom(f) \cap Dom(g)-\{x \in \mathbb{R} \mid g(x)=0\}$$
Dadas las funciones $f(x)=x^2+3$ y $g(x)=x^2+1$ calcula $\displaystyle \Big(\frac{f}{g}(x)\Big)$:
$$\displaystyle \Big(\frac{f}{g}\Big)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x^2+3}{x^2+1}$$ Por tanto, $$\displaystyle \Big(\frac{f}{g}\Big)(x)=\frac{x^2+3}{x^2+1}$$