Funcions logarítmiques

La funció que assigna a la variable independent $x$ el valor de $f (x) =\log_ax$ rep el nom de funció logarítmica de base $a$, on $a$ és un nombre real positiu diferent d'$1$.

Observem que si a un valor $x$ li apliquem la funció exponencial de base $a$, i a continuació, la funció logarítmica de base $a$, obtenim una altra vegada $x$, és a dir, $$\log_a(a^x)=x$$ Anàlogament es compleix que $$a^{\log_ax}=x$$ Per tant les funcions exponencial i logarítmica són funcions inverses.

Gràfica

Com en el cas de les funcions exponencials, la gràfica de les funcions logarítmiques varia segons si la base és major o menor que $1$.

Vegem-ho amb l'exemple de les funcions $f(x)=\log_2x$ i $h(x)=\displaystyle \log_{\frac{1}{2}}x$.

És destacable que les funcions logarítmiques sempre passen pel punt $(1, 0)$ ja que qualsevol nombre elevat a $0$ dóna $1$.

$$f(x)=\log_2x$$

$$\displaystyle f(x)=\log_{\frac{1}{2}}x$$

Propietats

A partir de la seva representació gràfica observem que les funcions logarítmiques compleixen les propietats següents:

• Domini: $Dom (f) = (0,+\infty)$
• Imatge: $Im (f) = \mathbb{R}$
• Cotes: No és acotada.
• Intersecció amb els eixos:Talla amb l'eix horitzontal en $x = 1$. No talla l'eix vertical.
• Continuïtat: És continua en el seu domini.
• Asímptotes: La recta $x = 0$ és una asímptota vertical.
  • Si $a> 1$: $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \log_ax=-\infty$ i $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \log_ax=+\infty$
  • Si $0 <1$: $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \log_ax=+\infty$ i $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \log_ax=-\infty$
• Periodicitat: No és periòdica.
• Simetries: No és simètrica.
• Monotonia: si $a> 1$, la funció és estrictament creixent. Si $a<1$, la funció és estrictament decreixent.
• Extrems relatius: No en té.
• Injectivitat i exhaustivitat: És injectiva (les imatges de punts diferents són diferents), i també és exhaustiva ja que la imatge és tot $\mathbb{R}$