Funciones logarítmicas

La función que asigna a la variable independiente $x$ el valor de $f (x) =\log_ax$ recibe el nombre de función logarítmica en base $a$, donde a es un número real positivo distinto de $1$.

Observamos que si a un valor $x$ le aplicamos la función exponencial de base $a$, y a continuación, la función logarítmica en base $a$, obtenemos otra vez $x$, es decir, $$\log_a(a^x)=x$$ Análogamente se cumple que $$a^{\log_ax}=x$$ Por tanto las funciones exponencial y logarítmica son funciones inversas.

Gráfica

Como en el caso de las funciones exponenciales, la gráfica de las funciones logarítmicas varía según si la base es mayor o menor que $1$.

Veámoslo con el ejemplo de las funciones $f(x)=\log_2x$ y $h(x)=\displaystyle \log_{\frac{1}{2}}x$.

Es destacable que las funciones logarítmicas siempre pasen por el punto $(1, 0)$ ya que cualquier número elevado a $0$ da $1$.

$$f(x)=\log_2x$$

$$\displaystyle f(x)=\log_{\frac{1}{2}}x$$

Propiedades

A partir de su representación gráfica observamos que las funciones logarítmicas cumplen las propiedades siguientes:

• Dominio: $Dom (f) = (0,+\infty)$
• Imagen: $Im (f) = \mathbb{R}$
• Cotas: No es acotada.
• Intersección con los ejes:Corta con el eje horizontal en $x = 1$. No corta el eje vertical.
• Continuidad:Es continua en su dominio.
• Asíntotas: La recta $x = 0$ es una asíntota vertical.
  • Si $a> 1$: $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \log_ax=-\infty$ y $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \log_ax=+\infty$
  • Si $0 <1$: $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \log_ax=+\infty$ y $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \log_ax=-\infty$
• Periodicidad:No es periódica.
• Simetrías: No es simétrica.
• Monotonía: si $a> 1$, la función es estrictamente creciente. Si $a<1$, la función es estrictamente decreciente.
• Extremos relativos: No tiene.
• Inyectividad y exhaustividad:Es inyectiva (las imágenes de puntos diferentes son diferentes), y también es exhaustiva ya que la imagen es todo $\mathbb{R}$