Funcions injectives, exhaustives i bijectives
A la gràfica d'una funció podem observar determinades característiques de les funcions que ens aporten informació sobre el seu comportament.
Observeu les gràfiques de les funcions $f(x)=x^2$ i $g(x)=2x$
Per a la funció $f$, observem que podem traçar almenys una recta horitzontal ($y$ = constant) que la talla en més d'un punt.
Per exemple, si considerem la recta horitzontal $y = 4$, veiem que hi ha dos elements diferents del domini de $f$, $x = 2$, i $x = -2$, que tenen la mateixa imatge $f (x) = 4$.
En canvi, qualsevol recta horitzontal traçada sobre la gràfica de la funció g curta com a màxim un punt d'aquesta funció. Per tant, no hi ha dos elements diferents del domini que tinguin la mateixa imatge.
Una funció $f$ és injectiva si dos elements diferents qualssevol del seu domini tenen imatges diferents per $f$, és a dir, si es compleix: $$x_1\neq x_2 \Longrightarrow f(x_1)\neq f(x_2)$$
Per tant observem que la funció $g$ és injectiva mentre que $f$ no ho és.
Si considerem una altra vegada les funcions $f$ i $g$, observem que:
El recorregut de la funció $f$ són els nombres reals més grans o iguals que zero, és a dir, $Im(f)=[0,+\infty)$.
En canvi, el recorregut de la funció $g$ són tots els nombres reals, és a dir, $Im(g)=\mathbb{R}$.
Una funció $f$ és exhaustiva si el seu recorregut coincideix amb el conjunt dels nombres reals, és a dir, si es compleix: $$Im (f)=\mathbb{R}$$
Tenim per tant que la funció $f$ no és exhaustiva i en canvi la funció $g$ sí que ho és.
Finalment:
Una funció és bijectiva si és injectiva i exhaustiva alhora.
Així la funció $g$ de l'exemple és bijectiva mentre que la funció $f$ no ho és.
Determineu si la funció $f$ representada en la figura següent és injectiva, exhaustiva i bijectiva:
Fixem-nos que la funció no és injectiva ja que podem traçar la recta $y = 1$, que talla la gràfica de $f$ en més d'un punt. Això vol dir que diferents valors de la variable independent $x$ tenen la mateixa imatge.
En canvi, la funció si que és exhaustiva ja que la seva imatge són tots els nombres reals, és a dir, $Im (f)=\mathbb{R}$.
Evidentment la funció no serà bijectiva ja que no és injectiva.