Funciones inyectivas, exhaustivas y biyectivas
En la gráfica de una función podemos observar determinadas características de las funciones que nos aportan información sobre su comportamiento.
Observad las gráficas de las funciones $f(x)=x^2$ y $g(x)=2x$
Para la función $f$, observamos que podemos trazar al menos una recta horizontal ( $y$ = constante ) que la corte en más de un punto.
Por ejemplo, si consideramos la recta horizontal $y = 4$, vemos que hay dos elementos diferentes del dominio de $f$, $x = 2$, y $x = -2$, que tienen la misma imagen $f (x) = 4$.
En cambio, cualquier recta horizontal trazada sobre la gráfica de la función $g$ corta como máximo un punto de dicha función. Por tanto, no hay dos elementos distintos del dominio que tengan la misma imagen.
Una función $f$ es inyectiva si dos elementos distintos cualesquiera de su dominio tienen imágenes distintas por $f$, es decir, si se cumple: $$x_1\neq x_2 \Longrightarrow f(x_1)\neq f(x_2)$$
Por tanto observamos que la función $g$ es inyectiva mientras que $f$ no lo es.
Si consideramos otra vez las funciones $f$ y $g$, observamos que:
El recorrido de la función $f$ son los números reales mayores o iguales que cero, es decir, $Im(f)=[0,+\infty)$.
En cambio, el recorrido de la función $g$ son todos los números reales, es decir, $Im(g)=\mathbb{R}$.
Una función $f$ es exhaustiva si su recorrido coincide con el conjunto de los números reales, es decir, si se cumple: $$Im (f)=\mathbb{R}$$
Tenemos por tanto que la función $f$ no es exhaustiva y en cambio la función $g$ si que lo es.
Por último:
Una función es biyectiva si es inyectiva y exhaustiva a la vez.
Así la función $g$ del ejemplo es biyectiva mientras que la función $f$ no lo es.
Determinad si la función $f$ representada en la siguiente figura es inyectiva, exhaustiva y biyectiva:
Fijémonos en que la función no es inyectiva ya que podemos trazar la recta $y = 1$, que corta la gráfica de $f$ en más de un punto. Esto significa que distintos valores de la variable independiente $x$ tienen la misma imagen.
En cambio, la función si que es exhaustiva ya que su imagen son todos los números reales, es decir, $Im (f)=\mathbb{R}$.
Evidentemente la función no será biyectiva ya que no es inyectiva.