Composició de funcions

En el conjunt de les funcions reals de variable real podem definir una altra operació absolutament diferent anomenada composició de funcions.

Considerem les funcions $f (x) = x + 3$ i $g (x)=x^2-1$, i un nombre real, per exemple $x = 2$.

Podem calcular la imatge de $2$ per $f$ i obtenim $f (2) = 5$.

A continuació podem calcular la imatge de $5$ per $g$ i obtenim $g (5) = g (f (2)) = 24$

En general, donades dues funcions $f$ i $g$, la funció que assigna a cada $x$ el valor de $g (f (x))$ s'anomena funció composta de $f$ i $g$ i es denota per $g\circ f$ (es llegeix $f$ composta amb $g$).

Per tant:

$$(g \circ f) (x) = g (f (x))$$

La funció $g \circ f$ està definida quan $x$ pertany al domini de $f$ i $f(x)$ pertany al domini de $g$. És a dir, $$Dom( g\circ f)=\{x \in Dom(f) \mid f(x) \in Dom(g) \}=$$

$$=Dom(f)-\{x \in \mathbb{R} \mid f(x) \notin Dom(g)\}$$

Donades les funcions $f (x) = x + 3$ i $g (x) =x^2-1$, calcula les funcions $(g \circ f)$ i $(f \circ g)$, i determina el seu domini.

$$(g \circ f) (x) = g (f (x)) = g (x + 3) =(x+3)^2-1=$$

$$= x^2+6x+9-1=x^2+6x+8$$

i ja que $Dom (f) = Dom (g) =\mathbb{R}$, es té:

$$Dom (g \circ f) = \mathbb{R}$$

$$(f \circ g) (x) = f (g (x)) = f(x^2-1) = x^2-1+3= x^2+2$$

Com en el cas anterior, $$Dom (f \circ g) =\mathbb{R}$$

Observem que són dues funcions diferents, és a dir, la composició de funcions no és commutativa.