Composición de funciones

En el conjunto de las funciones reales de variable real podemos definir otra operación absolutamente distinta llamada composición de funciones.

Consideremos las funciones $f(x) = x + 3$ y $g (x)=x^2-1$, y un número real, por ejemplo $x = 2$.

Podemos calcular la imagen de $2$ por $f$ y obtenemos $f (2) = 5$.

A continuación podemos calcular la imagen de $5$ por $g$ y obtenemos $g (5) = g (f (2)) = 24$

En general, dadas dos funciones $f$ y $g$, la función que asigna a cada $x$ el valor de $g (f (x))$ se llama función compuesta de $f$ y $g$ y se denota por $g\circ f$ (se lee $f$ compuesta con $g$).

Por tanto:

$$(g \circ f) (x) = g (f (x))$$

La función $g \circ f$ está definida cuando $x$ pertenece al dominio de $f$ y $f(x)$ pertenece al dominio de $g$. Es decir, $$Dom( g\circ f)=\{x \in Dom(f) \mid f(x) \in Dom(g) \}=$$

$$=Dom(f)-\{x \in \mathbb{R} \mid f(x) \notin Dom(g)\}$$

Dadas las funciones $f (x) = x + 3$ y $g (x) =x^2-1$, calcula las funciones $(g \circ f)$ y $(f \circ g)$, y determina su dominio.

$$(g \circ f) (x) = g (f (x)) = g (x + 3) =(x+3)^2-1=$$

$$= x^2+6x+9-1=x^2+6x+8$$

y puesto que $Dom (f) = Dom (g) =\mathbb{R}$, se tiene:

$$Dom (g \circ f) = \mathbb{R}$$

$$(f \circ g) (x) = f (g (x)) = f(x^2-1) = x^2-1+3= x^2+2$$

Como en el caso anterior,

$$Dom (f \circ g) =\mathbb{R}$$

Observamos que son dos funciones distintas, es decir, la composición de funciones no es conmutativa.