Ordenar fraccions

Donats dos nombres enters podem determinar fàcilment quin és més gran. Aquesta relació d'ordre es pot definir també entre les fraccions.

Considerem les fraccions $\dfrac{a}{b}$ i $\dfrac{c}{d}$ amb $b$ i $d$ positius. Aleshores la fracció $\dfrac{a}{b}$ és més gran que la fracció $\dfrac{c}{d}$ si $$a\cdot d> c\cdot b$$

Aquesta relació és natural, ja que $\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{a\cdot d}{b \cdot d}$ i $\displaystyle \frac{c}{d}=\frac{c\cdot b}{d\cdot b}$, i al tenir el mateix denominador podem fixar-nos només en el numerador.

Anem a ordenar els nombres $\dfrac{1}{3}, \dfrac{2}{5}$ i $\dfrac{1}{4}$.

Les escrivim amb denominador comú, $$\displaystyle \frac{1}{3}=\frac{1\cdot5\cdot4}{3\cdot5\cdot4}=\frac{20}{60}$$ $$\displaystyle \frac{2}{5}=\frac{2\cdot3\cdot4}{5\cdot3\cdot4}=\frac{24}{60}$$ $$\displaystyle \frac{1}{4}=\frac{1\cdot3\cdot5}{4\cdot3\cdot5}=\frac{15}{60}$$

Com que $15 < 20 < 24$ concluim que la fracció $\dfrac{1}{4}$ és menor que $\dfrac{1}{3}$, que és menor que $\dfrac{2}{5}$. $$\dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{3} < \dfrac{2}{5}$$