Multiplicació de fraccions
Comencem plantejant un problema:
La família Sangakoo té una parcel·la de terreny rectangular. Tan sols la meitat de la parcel·la es treballa, i tres quartes parts del conreu és blat de moro.
Volem saber quina part de la superfície total de la parcel·la aquesta conreada amb blat de moro.
Considerem una parcel·la rectangular:
Tan sols la meitat de la parcel·la està conreada:
I d'aquesta meitat, $\dfrac{3}{5}$ corresponen al blat de moro (és blat de moro blau!)
En total, la zona dedicada al cultiu de blat de moro representa $\dfrac{3}{10}$ del total de la parcel·la.
La fracció $\dfrac{3}{10}$ és el resultat de multiplicar $\dfrac{1}{2}$ per $\dfrac{3}{5}.$
El producte de dues fraccions és una altra fracció tal que el seu numerador és el producte dels numeradors de les fraccions donades, i el seu denominador és el producte dels seus denominadors.
El producte $\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{5}$ es porta a terme multiplicant els numeradors i els denominadors entre si:
$$\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{5}=\dfrac{1\cdot3}{2\cdot5}=\dfrac{3}{10}$$
Això es pot escriure segons la fórmula següent: $$\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{a \cdot c}{b \cdot d}$$
La multiplicació d'un nombre enter per una fracció, com aquest exemple: $7 \cdot \dfrac{3}{4}$ es fa igual.
$$7\cdot \dfrac{3}{4}= \dfrac{7}{1}\cdot\dfrac{3}{4}=\dfrac{7 \cdot 3}{1 \cdot 4}=\dfrac{21}{4}$$
Quan un mateix nombre multiplica en el numerador i en el denominador de l'operació, es pot eliminar de les dues posicions, ja que les accions de multiplicar i dividir entre el mateix nombre es len mútuament. Per exemple:
$$\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{5}=\dfrac{1 \cdot 2}{2 \cdot 5}=\dfrac{1}{5}$$
Propietats del producte de fraccions
La multiplicació de fraccions té les propietats següents:
Propietat commutativa: si $\dfrac{a}{b}$ i $\dfrac{c}{d}$ són dues fraccions qualssevol, es compleix que: $$\displaystyle \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{c}{d}\cdot\frac{a}{b}$$ És a dir, canviant l'ordre dels factors, no es modifica el resultat.
Propietat associativa: si $\dfrac{a}{b}$, $\dfrac{c}{d}$ i $\dfrac{n}{m}$ són tres fraccions qualssevol, es compleix que: $$\displaystyle \Big(\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}\Big)\cdot \frac{n}{m}= \frac{a}{b}\cdot \Big(\frac{c}{d} \cdot \frac{n}{m}\Big)$$
És a dir, per calcular el producte de tres o més fraccions, podem agrupar-ho ens sembli, el resultat serà sempre el mateix.
Element neutre: el nombre enter $1$ és l'element neutre de la multiplicació de fraccions ja que és fracció: $1=\dfrac{1}{1}=\dfrac{a}{a}$, per a qualsevol enter $a\neq 0$, i es compleix que $$\displaystyle \frac{a}{b}\cdot 1=1 \cdot \frac{a}{b}=\frac{a}{b}$$
Element invers: per a tota fracció diferent de zero hi ha una altra fracció tal que el producte és la unitat.
Direm que dues fraccions són inverses si el seu producte és el nombre $1$. O el que és el mateix, el producte de qualsevol fracció diferent de zero, per la seva invers és igual a $1$.
Donada una fracció $\dfrac{a}{b}$ el seu invers es igual a $$\displaystyle \frac{b}{a}:\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a}=\frac{a\cdot b}{b \cdot a}=\frac{a\cdot b}{a \cdot b}=1$$ La fracció $0= \dfrac{0}{1}=\dfrac{0}{a}$, per a qualsevol enter $a\neq 0$, no té invers ja que l'expressió $\dfrac{1}{0}$ no té sentit matemàtic.
Aquestes propietats doten al conjunt de les fraccions amb la relació d'equivalència, i sense l'element zero, d'estructura de grup abelià amb el producte. La següent propietat ens defineix aquest mateix conjunt com a cos commutatiu amb unitat.
- Propietat distributiva del producte respecte a la suma: si $\displaystyle \frac{a}{b},\frac{c}{d}$, i $\dfrac{n}{m}$ són tres nombres racionals qualsevol, es compleix que: $$\displaystyle \frac{a}{b}\cdot \Big(\frac{c}{d}+\frac{n}{m}\Big)=\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}+\frac{a}{b}\cdot \frac{n}{m}$$
Això significa que el producte d'un nombre per la suma de dos nombres racionals es pot transformar a la suma dels productes del primer número per cada un dels altres dos.