Multiplicación de fracciones

Empezamos planteándonos un problema:

La familia Sangakoo tiene una parcela de terreno rectangular. Tan solo la mitad de la parcela se trabaja, y tres cuartas partes del conreo es maíz. Queremos saber qué parte de la superficie total de la parcela esta cultivada con maíz.

Consideremos una parcela rectangular:

Tan solo la mitad de la parcela esta conreada:

Y de esta mitad, $\dfrac{3}{5}$ corresponden al maíz (es maíz azul!)

En total, la zona dedicada al cultivo de maíz representa $\dfrac{3}{10}$ del total de la parcela.

La fracción $\dfrac{3}{10}$ es el resultado de multiplicar $\dfrac{1}{2}$ por $\dfrac{3}{5}$.

El producto de dos fracciones es otra fracción tal que su numerador es el producto de los numeradores de las fracciones dadas, y su denominador es el producto de sus denominadores.

El producto $\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{5}$ se lleva a cabo multiplicando los numeradores y los denominadores entre sí:

$$\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{5}=\dfrac{1\cdot3}{2\cdot5}=\dfrac{3}{10}$$

Esto se puede escribir según la siguiente fórmula: $$\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{a \cdot c}{b \cdot d}$$

La multiplicación de un número entero por una fracción, como este ejemplo: $7 \cdot \dfrac{3}{4}$ se lleva a cabo igual.

$$7\cdot \dfrac{3}{4}= \dfrac{7}{1}\cdot\dfrac{3}{4}=\dfrac{7 \cdot 3}{1 \cdot 4}=\dfrac{21}{4}$$

Cuando un mismo número multiplica en el numerador y en el denominador de la operación, se puede eliminar de ambas posiciones, ya que las acciones de multiplicar y dividir entre el mismo número se anulan mutuamente. Por ejemplo: $$\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{5}=\dfrac{1 \cdot 2}{2 \cdot 5}=\dfrac{1}{5}$$

Propiedades del producto de fracciones

La multiplicación de fracciones tiene las propiedades siguientes:

• Propiedad conmutativa: si $\dfrac{a}{b}$ y $\dfrac{c}{d}$ son dos fracciones cualesquiera, se cumple que: $$\displaystyle \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{c}{d}\cdot\frac{a}{b}$$ Es decir, cambiando el orden de los factores, no se modifica el resultado.

• Propiedad asociativa: si $\dfrac{a}{b}$, $\dfrac{c}{d}$ y $\dfrac{n}{m}$ son tres fracciones cualesquiera, se cumple que: $$\displaystyle \Big(\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}\Big)\cdot \frac{n}{m}= \frac{a}{b}\cdot \Big(\frac{c}{d} \cdot \frac{n}{m}\Big)$$

Es decir, para calcular el producto de tres o más fracciones, podemos agruparlas como nos parezca: el resultado será siempre el mismo.

• Elemento neutro: el número entero $1$ es el elemento neutro de la multiplicación de fracciones ya que es fracción: $1=\dfrac{1}{1}=\dfrac{a}{a}$, para cualquier entero $a\neq 0$, y se cumple que: $$\displaystyle \frac{a}{b}\cdot 1=1 \cdot \frac{a}{b}=\frac{a}{b}$$

• Elemento inverso: para toda fracción distinta de cero existe otra fracción tal que su producto es la unidad.

Diremos que dos fracciones son inversas si su producto es el número $1$. O lo que es lo mismo, el producto de cualquier fracción distinta de cero, por su inverso es igual a $1$.

Dado un número quebrado $\dfrac{a}{b}$ su inverso es igual a $$\displaystyle \frac{b}{a}:\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a}=\frac{a\cdot b}{b \cdot a}=\frac{a\cdot b}{a \cdot b}=1$$ La fracción $0= \dfrac{0}{1}=\dfrac{0}{a}$, para cualquier entero $a\neq 0$, no tiene inverso pues la expresión $\dfrac{1}{0}$ no tiene sentido matemático.

Estas propiedades dotan al conjunto de las fracciones con la relación de equivalencia, y sin el elemento cero, de estructura de grupo abeliano con el producto. La siguiente propiedad nos define este mismo conjunto como cuerpo conmutativo con unidad.

• Propiedad distributiva del producto respecto a la suma: si $\displaystyle \frac{a}{b},\frac{c}{d}$, y $\dfrac{n}{m}$ son tres números racionales cualesquiera, se cumple que: $$\displaystyle \frac{a}{b}\cdot \Big(\frac{c}{d}+\frac{n}{m}\Big)=\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}+\frac{a}{b}\cdot \frac{n}{m}$$

Lo que significa que el producto de un número por la suma de dos números racionales se puede transformar a la suma de de los productos del primer número por cada uno de los otros dos.