Divisió de fraccions
Quocient de nombres racionals
El quocient entre el nombre enter $-6$ i el nombre enter $2$ és el nombre enter $-3$,ja que $-6=2\cdot(-3)$.
Aquest exercici de multiplicar nombres enters es pot escriure en forma de divisió com: $$\begin{matrix}(-6) & :2 & =-3 \\\\ \nearrow & \uparrow &\nwarrow \\\\ \mbox{dividend}&\mbox{ divisor }& \mbox{quocient} \end{matrix}$$
De la mateixa manera, el nombre racional $\dfrac{3}{20}$ es pot expressar com el producte entre el nombre racional $\dfrac{3}{4}$ i un altre. Quin és aquest altre racional?
Podem comprovar que aquest altre racional és $\dfrac{1}{5}$: $$\dfrac{3}{20}=\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{1}{5}=\dfrac{3 \cdot 1}{4 \cdot 5}$$. I llavors direm que el quocient de la divisió de $\dfrac{3}{20}$ entre $\dfrac{3}{4}$ és igual a $\dfrac{1}{5}$. De la mateixa manera que es fa amb els nombres enters, l'exercici de multiplicar $\displaystyle \frac{3}{20}=\frac{3}{4}\cdot$ es pot escriure en forma de divisió $\displaystyle \frac{3}{20}:\frac{3}{4}=?$.
Càlcul del quocient entre dos nombres racionals
L'exercici: $$\displaystyle \frac{3}{20}:\frac{3}{4}=?$$ s'escriu com $$\displaystyle ?\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{20}$$.
Multipliquem dos termes de la igualtat per l'invers del divisor $\displaystyle \Big(?\cdot \frac{3}{4}\Big)\cdot \frac{4}{3}=\Big(\frac{3}{20}\cdot \frac{4}{3}\Big)$
Tenint en compte les propietats del producte de fraccions, obtenim $$?\cdot \frac{3}{4}\cdot\frac{4}{3}=\frac{3}{20}\cdot\frac{4}{3}.$$ I com que $\displaystyle \frac{3}{4}\cdot\frac{4}{3}=1$, resulta que: $$\displaystyle ?\cdot 1=\frac{3}{20}\cdot \frac{4}{3}=\frac{3\cdot4}{20\cdot 3}=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$$ Per tant: $$\displaystyle \frac{3}{20}:\frac{3}{4}=\frac{3}{20}\cdot \frac{4}{3}=\frac{1}{5}$$
És a dir, per trobar el quocient entre dos nombres racionals $\dfrac{a}{b}$ (dividend) i $\dfrac{c}{d}$ (divisor), i el divisor diferent de zero, cal multiplicar el dividend per l'invers del divisor: $$\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d}{c}$$
Per calcular el quocient de $-\dfrac{4}{5}$ entre $-\dfrac{3}{2}$: $$-\dfrac{4}{5}:\Big(-\dfrac{3}{2}\Big)$$
Multipliquem el dividend $-\dfrac{4}{5}$ per l'invers del divisor $-\dfrac{3}{2}$, que és $-\dfrac{2}{3}$: $$\displaystyle -\frac{4}{5}:\Big(-\frac{3}{2}\Big)=-\frac{4}{5}\cdot \Big(-\frac{2}{3}\Big)=\frac{-4}{5}\cdot\frac{-2}{3}=\frac{8}{15}$$
De la mateixa manera que els nombres enters, quan tenim una expressió amb sumes, restes, multiplicacions i divisions entre fraccions hem operar primer els parèntesis, posteriorment les multiplicacions i les divisions i finalment les sumes i restes.
Quocient entre un nombre racional i un enter
Per dividir un número enter $a$ per un número racional $\dfrac{m}{n}$ hem d'expresar el número enter $a$ de la forma $\dfrac{a}{1}$ i procedir de la mateixa manera que en el cas anterior: $$\displaystyle a:\frac{m}{n}=\frac{a}{1}:\frac{m}{n}=\frac{a}{1}\cdot \frac{n}{m}$$
I, de la mateixa manera, per a dividir un nombre racional $\dfrac{m}{n}$ entre un número enter $a$, procedirem així: $$\displaystyle \frac{m}{n}:a=\frac{m}{n}:\frac{a}{1}=\frac{n}{m}\cdot \frac{1}{a}$$