División de fracciones

División de dos números racionales

El cociente entre el número entero $-6$ y el número entero $2$ es el número entero $-3$, ya que: $-6=2\cdot(-3)$.

Este ejercicio de multiplicar números enteros se puede escribir en forma de división como: $$\begin{matrix}(-6) & :2 & =-3 \\\\ \nearrow & \uparrow &\nwarrow \\\\ \mbox{dividendo}&\mbox{ divisor }& \mbox{cociente} \end{matrix}$$

Del mismo modo, el número racional $\dfrac{3}{20}$ se puede expresar como el producto entre el número racional $\dfrac{3}{4}$ y otro. Cuál es este otro racional?

Podemos comprobar que este otro racional es $\dfrac{1}{5}$: $$\dfrac{3}{20}=\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{1}{5}=\dfrac{3 \cdot 1}{4 \cdot 5}$$. Y entonces diremos que el cociente de la división de $\dfrac{3}{20}$ entre $\dfrac{3}{4}$ es igual a $\dfrac{1}{5}$. De la misma forma que se hace con los números enteros, el ejercicio de multiplicar $\displaystyle \frac{3}{20}=\frac{3}{4}\cdot$ se puede escribir en forma de división: $\displaystyle \frac{3}{20}:\frac{3}{4}=?$.

Calcular el cociente entre dos números racionales

1. El ejercicio: $$\displaystyle \frac{3}{20}:\frac{3}{4}=?$$ se escribe como: $$\displaystyle ?\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{20}$$

2. Multiplicamos ambos términos de la igualdad por el inverso del divisor: $\displaystyle \Big(?\cdot \frac{3}{4}\Big)\cdot \frac{4}{3}=\Big(\frac{3}{20}\cdot \frac{4}{3}\Big)$

3. Teniendo en cuenta las propiedades del producto de fracciones, obtenemos: $$?\cdot \frac{3}{4}\cdot\frac{4}{3}=\frac{3}{20}\cdot\frac{4}{3}.$$ Y como que $\displaystyle \frac{3}{4}\cdot\frac{4}{3}=1$, nos resulta que: $$\displaystyle ?\cdot 1=\frac{3}{20}\cdot \frac{4}{3}=\frac{3\cdot4}{20\cdot 3}=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$$ Por lo tanto: $$\displaystyle \frac{3}{20}:\frac{3}{4}=\frac{3}{20}\cdot \frac{4}{3}=\frac{1}{5}$$

Es decir, para encontrar el cociente entre dos números racionales $\dfrac{a}{b}$ (dividendo) y $\dfrac{c}{d}$ (divisor), siendo el divisor distinto de cero, hay que multiplicar el dividendo por el inverso del divisor: $$\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d}{c}$$

Para calcular el cociente de $-\dfrac{4}{5}$ entre $-\dfrac{3}{2}$: $$-\dfrac{4}{5}:\Big(-\dfrac{3}{2}\Big)$$ Multiplicamos el dividendo $-\dfrac{4}{5}$ por el inverso del divisor $-\dfrac{3}{2}$, que es $-\dfrac{2}{3}$: $$\displaystyle -\frac{4}{5}:\Big(-\frac{3}{2}\Big)=-\frac{4}{5}\cdot \Big(-\frac{2}{3}\Big)=\frac{-4}{5}\cdot\frac{-2}{3}=\frac{8}{15}$$

Del mismo modo que los números enteros, cuando tenemos una expresión con sumas, restas, multiplicaciones y divisiones entre fracciones debemos operar primero los paréntesis, posteriormente las multiplicaciones y las divisiones y finalmente las sumas y restas.

División entre un número racional y un entero

Para dividir un número entero $a$ por un número racional $\dfrac{m}{n}$ debemos expresar el número entero $a$ de la forma $\dfrac{a}{1}$ y proceder de la misma forma que en el caso anterior: $$\displaystyle a:\frac{m}{n}=\frac{a}{1}:\frac{m}{n}=\frac{a}{1}\cdot \frac{n}{m}$$

Y, de la misma forma, para dividir un número racional $\dfrac{m}{n}$ entre un número entero $a$, procederemos así: $$\displaystyle \frac{m}{n}:a=\frac{m}{n}:\frac{a}{1}=\frac{n}{m}\cdot \frac{1}{a}$$