- Inicio
- Estadística
- Variància i desviació típica
- Ejercicios
Variància i desviació típica
Es tiren $10$ vegades seguides un dau, amb resultats: $1, 1, 1, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6$. Calcula la variància i la desviació típica de les tirades.
Es troba la mitjana $\overline{x}=\dfrac{1+1+1+3+3+4+4+5+6+6}{10}=\dfrac{34}{10}=3,4$ i la variància aplicant la fórmula: $$\sigma^2=\dfrac{(1-3,4)^2+(1-3,4)^2+(1-3,4)^2+(3-3,4)^2+(3-3,4)^2+(4-3,4)^2}{10}+$$ $$+\dfrac{(4-3,4)^2+(5-3,4)^2+(6-3,4)^2+(6-3,4)^2}{10}=$$ $$=\dfrac{2,4^2+2,4^2+2,4^2+0,4^2+0,4^2+0,6^2+0,6^2+1,6^2+2,6^2+2,6^2}{10}=$$ $$=\dfrac{5,76+5,76+5,76+0,16+0,16+0,36+0,36+2,56+6,76+6,76}{10}=$$ $$=\dfrac{34,4}{10}=3,44 \\ $$
$$\sigma=\sqrt{3,44}=1,85$$
$\sigma^2=3,44$; $\sigma=1,85$.
A totes les classes de primer de l'institut se'ls fa el mateix examen. Els professors de les tres classes de $30$ alumnes cada una es posen d'acord en corregir per obtenir la mateixa mitjana.
Les desviacions típiques de les notes de cada classe són respectivament $\sigma_1=2,45$; $\sigma_2=3,21$ i $\sigma_3=2,78$. Trobeu la desviació típica del total de les notes de l'examen.
Aplicant la fórmula $$\sigma=\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2+\sigma_2^2+\ldots+\sigma_n^2}{n}}=\sqrt{\dfrac{2,45^2+3,21^2+2,78^2}{3}}=\sqrt{\dfrac{24,035}{3}}=$$ $$=\sqrt{8,012}=2,83$$
$$\sigma=2,83$$
El professor de matemàtiques deixa escollir a cada alumne l'exercici del seu gust entre els 4 exercicis proposats en l'examen. El professor els garanteix que la mitjana de les notes de cada exercici serà la mateixa. Els resultats són els següents:
- $15$ alumnes trien l'exercici $1$, resultant la desviació típica de les notes $\sigma_1=2,73$.
- $4$ alumnes trien l'exercici $2$, resultant la desviació típica de les notes $\sigma_2=1,22$.
- $9$ alumnes trien l'exercici $1$, resultant la desviació típica de les notes $\sigma_3=3,12$.
- $3$ alumnes trien l'exercici $1$, resultant la desviació típica de les notes $\sigma_4=2,87$.
Troba la variància i la desviació típica de les notes del conjunt de la classe.
Aplicant la fórmula $$\sigma^2=\dfrac{\sigma_1^2k_1+\sigma_2^2k_2+\ldots+\sigma_n^2k_n }{k_1+k_2+\ldots+k_n}=\dfrac{2,73^2\cdot15+1,22^2\cdot4+3,12^2\cdot9+2,87^2\cdot3}{15+4+9+3}=$$ $$\dfrac{111,79+5,95+87,61+24,71}{31}=\dfrac{230,06}{31}=7,42$$
Traient l'arrel es aclareix la desviació típica $$\sigma=\sqrt{7,42}=2,72$$
$\sigma^2=7,42$ y $\sigma=2,72$.
Seguidament es mostra l'anotació d'un equip de bàsquet. Troba la desviació típica existent. $$73-\mbox{PANATINAIKOS}(21+27+8+17): \\ \mbox{Spanoulis}(13), \ \mbox{Pekovic}(6), \ \mbox{Fotsis}(13), \ \mbox{Nicholas}(7), \ \mbox{Perperoglou}(6), \\ \mbox{Batiste}(6), \ \mbox{Diamantidis}(10), \ \mbox{Jasikevicius}(10), \ \mbox{Tsartaris}(2)$$
Es troba la mitjana $\overline{x}=\dfrac{73}{9}\simeq8,1$. Seguidament es calcula la variància: $$\sigma^2=\dfrac{(13-8,1)^2+(13-8,1)^2+(10-8,1)^2+(10-8,1)^2+(7-8,1)^2+(6-8,1)^2}{9}+$$ $$+\dfrac{(6-8,1)^2+(6-8,1)^2+(2-8,1)^2}{9}=$$ $$=\dfrac{4,9^2+4,9^2+1,9^2+1,1^2+2,1^2+2,1^2+2,1^2+6,1^2}{9}=$$ $$=\dfrac{24,01+24,01+3,61+3,61+1,21+4,41+4,41+4,41+37,21}{9}=$$ $$=\dfrac{106,89}{9}=11,9$$ i aïllem la desviació típica $$\sigma=\sqrt{11,9}\simeq 3,45$$
$$\sigma\simeq3,45$$
Tenim la temperatura de diferents ciutats d'Espanya: Avilés $(11^\circ C)$, Barcelona $(17^\circ C)$, Madrid $(21^\circ C)$, Mallorca $(18^\circ C)$, Valencia $(18^\circ C)$, Marbella $(19^\circ C)$, Las Palmas $(20^\circ C)$.
Calculeu la desviació típica d'aquestes temperatures.
Es troba la mitjana dels valors: $$\overline{x}=\dfrac{11+17+18+18+19+20+21}{7}=\dfrac{124}{7}\simeq 17,7.$$
Es calcula la variància aplicant la fórmula: $$\sigma^2=\dfrac{(11-17,7)^2+(17-17,7)^2+(18-17,7)^2+(18-17,7)^2+(19-17,7)^2}{7}+$$ $$+\dfrac{(20-17,7)^2+(21-17,7)^2}{7}=\dfrac{6,7^2+0,7^2+0,3^2+0,3^2+1,3^2+2,3^2+3,3^2}{7}=$$ $$=\dfrac{44,89+0,49+0,09+0,09+1,69+5,29+10,89}{7}=$$ $$=\dfrac{63,43}{7}\simeq9,06$$ i s'aïlla la desviació típica fent l'arrel $$\sigma=\sqrt{9,06}\simeq 3,01$$
$$\sigma=3,01$$