Mitjana aritmètica

La mitjana aritmètica és el valor mitjà de les mostres i és independent de les amplituds dels intervals. Es simbolitza com $\overline{x}$ i es troba només per a variables quantitatives. Es troba sumant tots els valors i dividint pel nombre total de dades.

La fórmula general per $N$ elements és: $$\displaystyle \overline{x}=\frac{x_1+x_2+x_3+\ldots+x_n}{n}$$

En un partit de bàsquet, es té la següent anotació en els jugadors d'un equip: $$0, 2, 4, 5, 8, 8, 10, 15, 38$$ Calcular la mitjana d'anotació de l'equip.

Aplicant la fórmula $$\displaystyle \overline{x}=\frac{0+2+4+5+8+9+10+15+38}{9}=\frac{90}{9}=10$$

Càlcul de la mitjana per a dades agrupades

La mitjana en el cas de $N$ dades agrupades en $n$ intervals ve donada per la fórmula $$\displaystyle \overline{x}=\frac{x_1\cdot f_1+x_2\cdot f_2+x_3\cdot f_3+\ldots+x_n\cdot f_n}{f_1+f_2+f_3+\ldots+f_n}$$

on $f_i$ són les vegades que es repeteix el valor $x_i$.

L'agrupament també es pot fer per intervals, utilitzant després el valor intermedi de l'interval per calcular la mitjana.

L'alçada en $cm$ dels jugadors d'un equip de bàsquet està en la següent taula. Calcular la mitjana.

Interval	$x_i$	$f_i$	$x_i\cdot f_i$
$[160,170)$	$165$	$1$	$165$
$[170,180)$	$175$	$2$	$350$
$[180,190)$	$185$	$4$	$740$
$[190,200)$	$195$	$3$	$585$
$[200,210)$	$205$	$2$	$410$
		$12$	$2250$

Calculem la mitjana per dades agrupades: $$\displaystyle \overline{x}=\frac{165 \cdot 1+175 \cdot 2+185\cdot 4+195\cdot 3+205\cdot 2}{1+2+4+3+2}=$$ $$=\frac{2250}{12}=187.5$$

Si hi ha un interval d'amplitud no determinada no es pot calcular la mitjana

$[160,170)$	$165$	$1$	$16$
$[170,180)$	$175$	$2$	$350$
$[180,190)$	$185$	$4$	$740$
$[190,200)$	$195$	$3$	$585$
$[200,)$	$2$
		$12$	$2250$

També cal comentar que la mitjana aritmètica és molt sensible a les puntuacions extremes.

En un partit de bàsquet, es té la següent anotació en els jugadors d'un equip: $$0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 47$$ Calcular la mitjana d'anotació de l'equip.

$$\displaystyle \overline{x}=\frac{0+1+3+4+5+6+7+8+47}{9}=\frac{81}{9}=9$$

En aquest cas la mitjana no il·lustra bé a les dades, ja que tots els valors excepte un estan per sota de la mitjana.