Raons trigonomètriques

A partir d'ara anem a prendre com a unitats els radians, en lloc dels graus sexagesimals. Passar dels uns als altres és fàcil a través de la relació $180^\circ=\pi$ rad.

Les raons trigonomètriques d'$\alpha$, si $\displaystyle \frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$

Suposem que ara volem calcular les raons trigonomètriques d'un angle $\alpha$ amb $\displaystyle \frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$.

Llavors es té: $$\begin{array} {rcl} \sin \alpha &=& \sin (\pi-\alpha) \\ \cos \alpha &=& -\cos (\pi-\alpha) \\ \tan \alpha &=& -\tan (\pi-\alpha)\end{array}$$

Per tant, a partir d'aquestes igualtats ja tenim definides les raons trigonomètriques per angles de $0<\alpha<\pi$, ja que $\pi-\alpha$ és un angle agut i per tant sabem calcular el sinus, el cosinus i la tangent.

Ara podem calcular les raons trigonomètriques de l'angle de $120$ graus que, en radiants és $\displaystyle \frac{2}{3}\pi$ i, per tant: $$\begin{array}{rcl} \sin \Big(\displaystyle \frac{2}{3}\pi\Big)&=&\sin \Big(\pi-\displaystyle \frac{2}{3}\pi\Big)=\sin \Big(\displaystyle \frac{\pi}{3}\Big)=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos \Big(\displaystyle \frac{2}{3}\pi\Big)&=&-\cos \Big(\pi-\displaystyle \frac{2}{3}\pi\Big)=-\cos \Big(\displaystyle \frac{\pi}{3}\Big)=-\displaystyle \frac{1}{2} \\ tan \Big(\displaystyle \frac{2}{3}\pi\Big)&=&-\tan \Big(pi-\displaystyle \frac{2}{3}\pi\Big)=-\tan \Big(\displaystyle \frac{\pi}{3}\Big)=\displaystyle \sqrt{3}\end{array}$$

Les raons trigonomètriques d'$\alpha$, si $\pi<\alpha < \displaystyle \frac{3\pi}{2}$

Si $\pi<\alpha <\displaystyle \frac{3\pi}{2}$, es té: $$\begin{array}{rcl}\sin \alpha &=& -\sin (\alpha -\pi) \\ \cos \alpha &=& -cos (\alpha - \pi) \\ \tan \alpha &=& tan (\alpha-\pi) \end{array}$$ Per tant, a partir d'aquestes igualtats i les del punt anterior, ja tenim definides les raons trigonomètriques per angles de $0<\alpha<\displaystyle \frac{3\pi}{2}$.

Ara podem calcular les raons trigonomètriques de l'angle de $225$ graus que, en radiants és $\displaystyle \frac{5\pi}{4}$: $$\begin{array} {rcl} \sin \Big(\displaystyle \frac{5}{4}\pi \Big)&=&-\sin \Big(\displaystyle \frac{5}{4}\pi - \pi \Big)=-\sin \Big(\displaystyle \frac{\pi}{4} \Big)=-\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \cos \Big(\displaystyle \frac{5}{4}\pi \Big)&=&-\cos \Big(\displaystyle \frac{5}{4}\pi - \pi \Big)=-\cos \Big(\displaystyle \frac{\pi}{4} \Big)=-\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \tan \Big(\displaystyle \frac{5}{4}\pi \Big)&=&\tan \Big(\displaystyle \frac{5}{4}\pi - \pi \Big)=\tan \Big(\displaystyle \frac{\pi}{4} \Big)=1\end{array}$$

Les raons trigonomètriques d'$\alpha$, si $\displaystyle \frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi$

Si $\displaystyle \frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi$, es té: $$\begin{array}{rcl}\sin \alpha &=& -\sin (2\pi-\alpha ) \\ \cos \alpha &=& cos (2\pi-\alpha) \\ \tan \alpha &=& -tan (2\pi-\alpha) \end{array}$$ Per tant a partir d'aquestes igualtats i totes les anteriors, ja tenim definides les raons trigonomètriques per angles de $0<\alpha<2\pi$.

Ara podem calcular les raons trigonomètriques de l'angle de $330$ graus que, en radiants és $\displaystyle \frac{11\pi}{6}$ i, per tant: $$\begin{array}{rcl}\sin \displaystyle \frac{11\pi}{6} &=& -\sin \Big(2\pi-\displaystyle \frac{11\pi}{6} \Big)=-\sin\Big(\displaystyle \frac{pi}{6} \Big)=-\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos \displaystyle \frac{11\pi}{6} &=& cos \Big(2\pi-\displaystyle \frac{11\pi}{6}\Big)=\cos \Big(\displaystyle \frac{pi}{6} \Big)=\frac{1}{2} \\ \tan \displaystyle \frac{11\pi}{6} &=& -tan \Big(2\pi-\displaystyle \frac{11\pi}{6}\Big)=-\tan\Big(\displaystyle \frac{pi}{6} \Big)=\sqrt{3} \end{array}$$

Angles particulars

Fixem-nos que encara no hem definit les raons trigonomètriques per als angles de $\displaystyle 0,\frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}$ i $2\pi$ rad. Doncs bé les definim com: $$\begin{array}{rcl} \sin 0 &=& \sin (2\pi)=0 \\ \cos 0 &=& \cos (2\pi)=1 \\ \tan 0 &=& \tan (2\pi)=0\end{array} \\ \displaystyle \begin{array}{rcl} \sin \Big(\frac{\pi}{2}\Big) &=&1 \\ \cos \Big(\frac{\pi}{2}\Big) &=& 0 \end{array} \\ \begin{array}{rcl} \sin \pi &=& 0 \\ \cos \pi &=& -1 \\ \tan \pi &=& 0\end{array} \\ \displaystyle \begin{array}{rcl} \sin \Big(\frac{3\pi}{2}\Big) &=&-1 \\ \cos \Big(\frac{3\pi}{2}\Big) &=& 0 \end{array}$$ Cal remarcar que la tangent no està definida per els angles de $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ i $\displaystyle \frac{3\pi}{2}$.

Periodicitat

Tenim definides les raons trigonomètriques per a tot angle $\alpha$ amb $0\leq \alpha\leq 2\pi$. Anem a estendre aquesta definició per a tot $\alpha$ real, mitjançant: $$\begin{array}{rcl} \sin \alpha &=& \sin (\alpha+2\pi) \\ \cos \alpha &=& \cos (\alpha+2\pi) \\ \tan \alpha &=& \tan (\alpha +2\pi)\end{array}$$ tenint en compte sempre que la tangent no estarà definida en tots els punts que resultin de sumar un múltiple de $2\pi$ a $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ó $\displaystyle \frac{3\pi}{2}$.

Per aquest motiu es diu que les funcions trigonomètriques són funcions periòdiques de període $2\pi$.

Per exemple ara ja podem dir que fa valen les raons trigonomètriques d'$\alpha=\displaystyle \frac{13}{6}\pi$ ja que $\alpha=\displaystyle \frac{13}{6}\pi=2\pi+\frac{\pi}{6}$, per tant: $$\begin{array}{rcl} \sin \displaystyle \frac{13}{6}\pi &=& \sin \Big(\displaystyle \frac{13}{6}\pi+2\pi \Big) = \sin \Big(\frac{\pi}{6}\Big)=\frac{1}{2} \\ \cos \displaystyle \frac{13}{6}\pi &=& \cos \Big(\displaystyle \frac{13}{6}\pi+2\pi\Big)= \cos \Big(\frac{\pi}{6}\Big)=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \tan \displaystyle \frac{13}{6}\pi &=& \tan \Big(\displaystyle \frac{13}{6}\pi+2\pi\Big) =\tan\Big(\frac{\pi}{6}\Big)=\frac{\sqrt{3}}{3} \end{array}$$