Razones trigonométricas

A partir de ahora vamos a tomar como unidades los radianes, en lugar de los grados sexagesimales. Pasar de unos a otros es fácil a través de la relación $180^\circ=\pi$ rad.

Las razones trigonométricas de $\alpha$, si $\displaystyle \frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$

Supongamos que ahora queremos calcular las razones trigonométricas de un ángulo $\alpha$ con $\displaystyle \frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$.

Entonces se tiene: $$\begin{array} {rcl} \sin \alpha &=& \sin (\pi-\alpha) \\ \cos \alpha &=& -\cos (\pi-\alpha) \\ \tan \alpha &=& -\tan (\pi-\alpha)\end{array}$$

Por lo tanto, a partir de estas igualdades ya tenemos definido las razones trigonométricas para ángulos de $0<\alpha<\pi$, puesto que $\pi-\alpha$ es un ángulo agudo y por lo tanto sabemos calcularle el seno, el coseno y la tangente.

Ahora podemos calcular las razones trigonométricas del ángulo de $120$ grados que, en radianes es $\displaystyle \frac{2}{3}\pi$ y, por lo tanto: $$\begin{array}{rcl} \sin \Big(\displaystyle \frac{2}{3}\pi\Big)&=&\sin \Big(\pi-\displaystyle \frac{2}{3}\pi\Big)=\sin \Big(\displaystyle \frac{\pi}{3}\Big)=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos \Big(\displaystyle \frac{2}{3}\pi\Big)&=&-\cos \Big(\pi-\displaystyle \frac{2}{3}\pi\Big)=-\cos \Big(\displaystyle \frac{\pi}{3}\Big)=-\displaystyle \frac{1}{2} \\ tan \Big(\displaystyle \frac{2}{3}\pi\Big)&=&-\tan \Big(pi-\displaystyle \frac{2}{3}\pi\Big)=-\tan \Big(\displaystyle \frac{\pi}{3}\Big)=\displaystyle \sqrt{3}\end{array}$$

Las razones trigonométricas de $\alpha$, si $\pi<\alpha < \displaystyle \frac{3\pi}{2}$

Si $\pi<\alpha <\displaystyle \frac{3\pi}{2}$, se tiene: $$\begin{array}{rcl}\sin \alpha &=& -\sin (\alpha -\pi) \\ \cos \alpha &=& -cos (\alpha - \pi) \\ \tan \alpha &=& tan (\alpha-\pi) \end{array}$$ Por lo tanto, a partir de estas igualdades y las del punto anterior, ya tenemos definido las razones trigonométricas para ángulos de $0<\alpha<\displaystyle \frac{3\pi}{2}$.

Ahora podemos calcular las razones trigonométricas del ángulo de $225$ grados que, en radianes es $\displaystyle \frac{5\pi}{4}$: $$\begin{array} {rcl} \sin \Big(\displaystyle \frac{5}{4}\pi \Big)&=&-\sin \Big(\displaystyle \frac{5}{4}\pi - \pi \Big)=-\sin \Big(\displaystyle \frac{\pi}{4} \Big)=-\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \cos \Big(\displaystyle \frac{5}{4}\pi \Big)&=&-\cos \Big(\displaystyle \frac{5}{4}\pi - \pi \Big)=-\cos \Big(\displaystyle \frac{\pi}{4} \Big)=-\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \tan \Big(\displaystyle \frac{5}{4}\pi \Big)&=&\tan \Big(\displaystyle \frac{5}{4}\pi - \pi \Big)=\tan \Big(\displaystyle \frac{\pi}{4} \Big)=1\end{array}$$

Las razones trigonométricas de $\alpha$, si $\displaystyle \frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi$

Si $\displaystyle \frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi$, se tiene: $$\begin{array}{rcl}\sin \alpha &=& -\sin (2\pi-\alpha ) \\ \cos \alpha &=& cos (2\pi-\alpha) \\ \tan \alpha &=& -tan (2\pi-\alpha) \end{array}$$ Por lo tanto a partir de estas igualdades y todas la anteriores, ya tenemos definidas la razones trigonométricas para ángulos de $0<\alpha<2\pi$.

Ahora podemos calcular las razones trigonométricas del ángulo de $330$ grados que, en radianes es $\displaystyle \frac{11\pi}{6}$ y, por lo tanto: $$\begin{array}{rcl}\sin \displaystyle \frac{11\pi}{6} &=& -\sin \Big(2\pi-\displaystyle \frac{11\pi}{6} \Big)=-\sin\Big(\displaystyle \frac{pi}{6} \Big)=-\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos \displaystyle \frac{11\pi}{6} &=& cos \Big(2\pi-\displaystyle \frac{11\pi}{6}\Big)=\cos \Big(\displaystyle \frac{pi}{6} \Big)=\frac{1}{2} \\ \tan \displaystyle \frac{11\pi}{6} &=& -tan \Big(2\pi-\displaystyle \frac{11\pi}{6}\Big)=-\tan\Big(\displaystyle \frac{pi}{6} \Big)=\sqrt{3} \end{array}$$

Ángulos particulares

Ahora definimos las razones trigonométricas para los ángulos de $\displaystyle 0,\frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}$ y $2\pi$ rad. $$\begin{array}{rcl} \sin 0 &=& \sin (2\pi)=0 \\ \cos 0 &=& \cos (2\pi)=1 \\ \tan 0 &=& \tan (2\pi)=0\end{array} \\ \displaystyle \begin{array}{rcl} \sin \Big(\frac{\pi}{2}\Big) &=&1 \\ \cos \Big(\frac{\pi}{2}\Big) &=& 0 \end{array} \\ \begin{array}{rcl} \sin \pi &=& 0 \\ \cos \pi &=& -1 \\ \tan \pi &=& 0\end{array} \\ \displaystyle \begin{array}{rcl} \sin \Big(\frac{3\pi}{2}\Big) &=&-1 \\ \cos \Big(\frac{3\pi}{2}\Big) &=& 0 \end{array}$$ Es necesario remarcar que la tangente no está definida para los ángulos de $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ y $\displaystyle \frac{3\pi}{2}$.

Periodicidad

Tenemos definidas las razones trigonométricas para todo ángulo $\alpha$ con $0\leq \alpha\leq 2\pi$. Vamos a extender esta definición para todo $\alpha$ real, mediante: $$\begin{array}{rcl} \sin \alpha &=& \sin (\alpha+2\pi) \\ \cos \alpha &=& \cos (\alpha+2\pi) \\ \tan \alpha &=& \tan (\alpha +2\pi)\end{array}$$ teniendo en cuenta siempre que la tangente no estará definida en todos los puntos que resulten de sumar un múltiplo de $2\pi$ a $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ó $\displaystyle \frac{3\pi}{2}$.

Por este motivo se dice que las funciones trigonométricas son funciones periódicas de periodo $2\pi$.

Por ejemplo ahora ya podemos decir cuanto valen las razones trigonométricas de $\alpha=\displaystyle \frac{13}{6}\pi$ ya que $\alpha=\displaystyle \frac{13}{6}\pi=2\pi+\frac{\pi}{6}$, por lo tanto: $$\begin{array}{rcl} \sin \displaystyle \frac{13}{6}\pi &=& \sin \Big(\displaystyle \frac{13}{6}\pi+2\pi \Big) = \sin \Big(\frac{\pi}{6}\Big)=\frac{1}{2} \\ \cos \displaystyle \frac{13}{6}\pi &=& \cos \Big(\displaystyle \frac{13}{6}\pi+2\pi\Big)= \cos \Big(\frac{\pi}{6}\Big)=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \tan \displaystyle \frac{13}{6}\pi &=& \tan \Big(\displaystyle \frac{13}{6}\pi+2\pi\Big) =\tan\Big(\frac{\pi}{6}\Big)=\frac{\sqrt{3}}{3} \end{array}$$