Resoldre una equació exponencial per logaritmes

Una equació exponencial és aquella en què la o les incògnites estan en l'exponent d'una potència. Les equacions exponencials utilitzen coneixements bàsics de les funcions exponencial i logarítmica.

Per resoldre-les s'utilitzen les següents propietats:

• $a^0=1$ per a qualsevol $a$.
• Dues potències amb una mateixa base positiva i diferent de la unitat són iguals si i només si són iguals els seus exponents. És a dir: $$2^a=2^b \Leftrightarrow a=b$$
• Per a qualsevol $a \neq 0$ i $a\neq 1$ tenim que: $$a^x=b \Rightarrow x= \log_ab$$

Quan es vol resoldre una equació exponencial aquesta pot tenir diferents formes, per això s'utilitzen diferents mètodes i transformacions.

Quan l'equació exponencial a resoldre és del tipus $a^{f(x)}=b$ llavors es pot resoldre per logaritmació d'ambdós costats si tots dos membres són positius. És a dir, simplement s'apliquen les propietats del logaritme per trobar quant val $f(x)$.

$$\displaystyle 2^{x+1}=6^\frac{3x}{2}$$

Aplicant logaritmes:

$$\displaystyle \log_2(2^{x+1})=\log_2 \Big(6^\frac{3x}{2}\Big)$$

Ara mitjançant les propietats del logaritme,

$$\displaystyle \log_2(2^{x+1})=\displaystyle \log_2 \Big(6^{\frac{3x}{2}}\Big) \Rightarrow \log_2(2)^{x+1}=\log_2(6)^{\frac{3x}{2}} \Rightarrow (x+1)\log_22=\frac{3x}{2}\log_26$$

$$\Rightarrow (x+1)=\frac{3x}{2} \log_26$$

Ja hem convertit l'equació exponencial en una equació de primer grau que sabem resoldre. És a dir, aïllant la $x$ obtenim:

$$(x+1)=\frac{3x}{2}\log_26 \Rightarrow x-\frac{3 \cdot \log_2 6}{2}x=-1 \Rightarrow x\Big(1-\frac{3 \cdot \log_2 6}{2}\Big)=-1\Rightarrow$$

$$x=\frac{-2}{2-3\cdot \log_2 6}$$

$$\displaystyle 5^{2x-1}=7^{3-x} \Rightarrow 2x-1=\log_5(7^{3-x})=(3-x)\log_5 7 \Rightarrow x=\frac{3\log_5 7+1}{2+\log_5 7}$$