Resolver una ecuación exponencial por logaritmos

Una ecuación exponencial es aquella en la que la o las incógnitas están en el exponente de una potencia. Las ecuaciones exponenciales utilizan conocimientos básicos de las funciones exponencial y logarítmica.

Para resolverlas se utilizan las siguientes propiedades:

• $a^0=1$ para cualquier $a$.
• Dos potencias con una misma base positiva y distinta de la unidad son iguales, si y sólo si son iguales sus exponentes. Es decir: $$2^a=2^b \Leftrightarrow a=b$$
• Para cualquier $a \neq 0$ y $a\neq 1$ se tiene que: $$a^x=b \Rightarrow x= \log_ab$$

Cuando se quiere resolver una ecuación exponencial ésta puede tener distinta forma, por ello existen distintos métodos y transformaciones.

Cuando la ecuación exponencial a resolver es del tipo $a^{f(x)}=b$ entonces se puede resolver por logaritmación de ambos lados si ambos miembros son positivos. Es decir, simplemente se aplican las propiedades del logaritmo para encontrar cuanto vale $f(x)$.

$$\displaystyle 2^{x+1}=6^\frac{3x}{2}$$

Aplicando logaritmos:

$$\displaystyle \log_2(2^{x+1})=\log_2 \Big(6^\frac{3x}{2}\Big)$$

Ahora mediante las propiedades del logaritmo,

$$\displaystyle \log_2(2^{x+1})=\displaystyle \log_2 \Big(6^{\frac{3x}{2}}\Big) \Rightarrow \log_2(2)^{x+1}=\log_2(6)^{\frac{3x}{2}} \Rightarrow (x+1)\log_22=\frac{3x}{2}\log_26$$

$$\Rightarrow (x+1)=\frac{3x}{2} \log_26$$

Hemos pues convertido la ecuación exponencial en una ecuación de primer grado que sabemos resolver. Esto es, aislando la $x$ obtenemos:

$$(x+1)=\frac{3x}{2}\log_26 \Rightarrow x-\frac{3 \cdot \log_2 6}{2}x=-1 \Rightarrow x\Big(1-\frac{3 \cdot \log_2 6}{2}\Big)=-1\Rightarrow$$

$$x=\frac{-2}{2-3\cdot \log_2 6}$$

$$\displaystyle 5^{2x-1}=7^{3-x} \Rightarrow 2x-1=\log_5(7^{3-x})=(3-x)\log_5 7 \Rightarrow x=\frac{3\log_5 7+1}{2+\log_5 7}$$