Problemes amb equacions de primer grau

Aprendrem a plantejar problemes que es resolguin a partir d'una equació donada.

Per exemple, l'equació:

$$x+14=3x$$

té com a solució:

$$\displaystyle x-3x=-14 \Rightarrow -2x=-14 \Rightarrow \frac{-14}{-2}=7$$

Partint d'aquestes premisses es pot plantejar un problema real que es resolgui mitjançant l'equació descrita. Un recurs senzill és plantejar un enunciat sobre nombres, "traduint" a paraules el que implica l'equació en si, és a dir:

"Si a un nombre li sumem $14$ s'obté el triple d'aquest nombre. De quin nombre es tracta??"

Si s'anomena $x$ al nombre, el triple serà $3x$, de manera que ja es pot plantejar i resoldre l'equació esmentada. Com el resultat ja és conegut se sap per endavant que la solució és $7$, però se substitueix per comprovar que el resultat és vàlid:

$$7+14=3\cdot 7\Rightarrow 21=21$$

És a dir, $7$ més $14$ és igual a $21$, és a dir, el triple de $7$.

Aquest mateix tipus de problema es podria plantejar amb objectes reals, com monedes, caramels, etc.

Per exemple:

"En una botiga de llaminadures un nen compra $14$ piruletes, amb el que aconsegueix tenir el triple de les que tenia. Quantes tenia inicialment?"

El problema es resol amb la mateixa equació inicial, ja que $x +14$ representa la quantitat de piruletes que té després de la compra i $3x$ és el triple de la quantitat inicial.

Per tant, la solució és que inicialment tenia $7$ piruletes.

Per aquesta altra equació:

$$2x+\displaystyle \frac{x}{3}=77$$

la solució és:

$$\displaystyle \frac{6x+x}{3}=77 \rightarrow \frac{7x}{3}=77 \Rightarrow 7x=231 \Rightarrow x=\frac{231}{7}=33 $$

I un possible problema seria:

"Calcula quin és el número que sumar el seu doble més la seva tercera part és igual a $77$."

El número és el $33$, ja que, efectivament, el doble de $33$ $(66)$ i la seva tercera part $(11)$ sumen $77$:

$$2\cdot 33 + \displaystyle \frac{33}{3}=77 \Rightarrow 66+11=77\Rightarrow 77=77$$

Seguint en l'àmbit de les llaminadures, un enunciat alternatiu podria ser el següent:

"Quants xiclets té un nen si diu que el doble d'aquesta quantitat més la seva tercera part és igual a $77$?"

El doble de la quantitat serà $2x$, mentre que la tercera part d'aquesta quantitat és $\displaystyle \frac{x}{3}$.

Així que l'equació serveix per resoldre el problema, de manera que el nen té $33$ xiclets.

I un altre enunciat més podria ser jugant amb les edats d'una persona, per exemple:

"Quants anys té la Maria si el doble de la seva edat i un terç de la mateixa sumen $77$?"

Si l'edat de Maria és $x$, el doble és $2x$ i un terç és $\displaystyle \frac{x}{3}$.

Així que l'equació també serveix per resoldre el problema, de manera que Maria té $33$ anys.