Definició i resolució general d'equacions de segon grau

Una equació com $x^2+3x-10=0$ es diu que és de segon grau perquè l'exponent de la $x$ (que és la incògnita) està elevat a $2$ (una equació com ara $4x^3+2x+10=0$, ja no seria de segon grau, sinó de tercer).

La forma general d'una equació d'aquest tipus és:

$$ax^2+bx+c=0$$En on $x$ és la incògnita i $a$, $b$, $c$ són nombres qualssevol.

La fórmula que ens permet resoldre aquest tipus d'equacions és la següent:

$$\displaystyle x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

En aquesta operació final apareix un signe $\pm$, i és que, en principi, una equació de segon grau pot tenir dues solucions diferents, una d'elles s'obté quan utilitzem el $+$ i l'altra quan utilitzem el $-$.

Anem a aplicar aquesta fórmula a l'equació $x^2+3x-10=0$.

Escrivim els valors de $a$, $b$ i $c$:

$$a= 1, b= 3 \mbox{ i } c=-10 $$

i els substituïm en la fórmula:

$$\displaystyle x=\frac{-3 \pm \sqrt{3^2-4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1}=\frac{-3 \pm \sqrt{9+40}}{2}=\frac{-3\pm \sqrt{49}}{2}=$$

$$=\frac{-3 \pm 7}{2}$$

I ens dóna dues solucions diferents:

$$\displaystyle \frac{-3+7}{2}=\frac{4}{2}=2 \\ \frac{-3-7}{2}=\frac{-10}{2}=-5$$

De manera que l'equació proposta té com a solucions $2$ i $-5$.

En la majoria dels llibres de text les solucions s'indiquen escrivint un subíndex en la lletra $x$, de manera que en el nostre cas tindríem:

$$x_1=2 \\ x_2=-5$$

Les solucions de l'equació s'anomenen arrels. És el mateix dir que $2$ i $-5$ són les solucions, de dir que les arrels de l'equació $x^2+3x-10=0$ són $2$ i $-5$.

Vegem altres exemples:

Resoldre l'equació $6x^2-5x-4=0$.$a=6$, $b=-5$ i $c=-4$

$$\displaystyle x=\frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2-4 \cdot 6 \cdot (-4)}}{2 \cdot 6}= \frac{5 \pm \sqrt{25+96}}{12}=\frac{5 \pm 11}{12}=$$

$$\displaystyle=\left\{\begin{matrix} x_1=\frac{4}{3} \\ x_2=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$$

Trobar les solucions de l'equació $x^2+x-2=0$.$a=1$, $b=1$ i $c=-2$

$$\displaystyle x=\frac{-1 \pm \sqrt{1^2-4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}= \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2}=\frac{-1 \pm 3}{2}=\left\{\begin{matrix} x_1=1 \\ x_2=-2\end{matrix}\right.$$

Quines són les arrels de $2x^2-5x-1=0$? $a=2$, $b=-5$ i $c=-1$

$$\displaystyle x=\frac{5 \pm \sqrt{5^2-4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2}= \frac{5 \pm \sqrt{25+8}}{4}=\frac{5 \pm \sqrt{33}}{4}= \\ =\left\{\begin{matrix} x_1=2.69 \\ x_2=-0.19\end{matrix}\right.$$

Resoldre $x^2-16=0$. $a=1$, $b=0$ i $c=-16$

$$\displaystyle x=\frac{0 \pm \sqrt{0-4 \cdot (-16) }}{2}= \frac{\pm 8}{2}=\left\{\begin{matrix} x_1=4 \\ x_2=-4\end{matrix}\right.$$

Trobar les arrels de $2x^2-4x=0$. $a=2$, $b =-4$ i $c=0$.

$$\displaystyle x=\frac{4 \pm \sqrt{16-4\cdot 2 \cdot 0 }}{2 \cdot 2}=\left \{ \begin{matrix} x_1=2 \\x_2=0 \end{matrix}\right.$$

De vegades els termes de l'equació estan agrupats de diferent forma, com en $5-x=3x^2$ en aquest cas n'hi ha prou amb passar-ho tot al primer membre $-3x^2-x+5=0$

En altres casos pot ser que la incògnita no estigui representada per la lletra $x$, com en $3k^2-8k+5=0$, el que no canvia les coses. Les solucions per a aquesta equació són: $$\begin{matrix} k_1=1 \\ k_2= \displaystyle \frac{5}{3}\end{matrix}$$

És important recordar que l'arrel quadrada d'un nombre negatiu no existeix dins del conjunt dels nombres reals. Quan ens trobem en un cas així direm que l'equació no té solucions en $\mathbb{R}$.

Trobar les arrels de $x^2+2x+5=0$. $a=1$, $b =2$ i $c=5$.

$$\displaystyle x=\frac{-2 \pm \sqrt{4-20}}{2 \cdot 2}= \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{4}$$

Aquesta equació no té solucions en $\mathbb{R}$.