Suma i multiplicació de nombres reals

a) Per al nombre $\dfrac{1}{3}$ les aproximacions són:

$0,3$

$0,33$

$0,333$

$0,3333$

$\ldots$

Per al nombre $\pi$ les aproximacions són:

$3,1$

$3,14$

$3,141$

$3,1415$

$\ldots$

Per a la suma de $\dfrac{1}{3}$ i $\pi$ les aproximacions són:

$0,3+3,1=3,4$

$0,33+3,14=3,47$

$0,333+3,141=3,474$

$0,3333+3,1415=3,4748$

$\ldots$

Per a la resta de $\dfrac{1}{3}$ i $\pi$ les aproximacions són:

$0,3-3,1=-2,8$

$0,33-3,14=-2,81$

$0,333-3,141=-2,808$

$0,3333-3,1415=-2,8082$

$\ldots$

Per a la multiplicació de $\dfrac{1}{3}$ i $\pi$ les aproximacions són:

$0,3 \cdot 3,1=0,93$

$0,33 \cdot 3,14=1,0362$

$0,333 \cdot 3,141=1,045953$

$0,3333 \cdot 3,1415=1,04706195$

$\ldots$

Per a la divisió de $\dfrac{1}{3}$ i $\pi$ les aproximacions són:

$0,3 / 3,1=0,096774$

$0,33 / 3,14=0,105095$

$0,333 / 3,141=0,106017$

$0,3333 / 3,1415=0,106095$

$\ldots$

b) Per al nombre $\dfrac{1}{7}$ les aproximacions són:

$0,1$

$0,14$

$0,142$

$0,1428$

$\ldots$

Per al nombre $\sqrt{2}$ les aproximacions són:

$1,4$

$1,41$

$1,414$

$1,4142$

$\ldots$

Per a la suma de $\dfrac{1}{7}$ i $\sqrt{2}$ les aproximacions són:

$0,1+1,4=1,5$

$0,14+1,41=1,55$

$0,142+1,414=1,556$

$0,1428+1,4142=1,5570$

$\ldots$

Per a la resta de $\dfrac{1}{7}$ i $\sqrt{2}$ les aproximacions són:

$0,1-1,4=-1,3$

$0,14-1,41=-1,27$

$0,142-1,414=-1,272$

$0,1428-1,4142=-1,2714$

$\ldots$

Per a la multiplicació de $\dfrac{1}{7}$ i $\sqrt{2}$ les aproximacions són:

$0,1 \cdot 1,4=0,14$

$0,14 \cdot 1,41=0,1974$

$0,142 \cdot 1,414=0,20022$

$0,1428 \cdot 1,4142=0,20194776$

$\ldots$

Per a la divisió de $\dfrac{1}{7}$ i $\sqrt{2}$ les aproximacions són:

$0,1 / 1,4=0,0714285$

$0,14 / 1,41=0,0992907$

$0,142 / 1,414=0,1004243$

$0,1428 / 1,4142=0,1009758$

$\ldots$

1. Dibuixem sobre la recta els nombres $\sqrt{2}$ i $\sqrt{3}$ usant la construcció de triangles rectangles.

A continuació traslladem el segment $\overline{0\sqrt{3}}$ a partir del punt $\sqrt{2}$, i el punt que obtenim correspon a $\sqrt{2}+\sqrt{3}$.

2. Dibuixem sobre la recta els nombres $\sqrt{2}$ i $\sqrt{3}$. A continuació traslladem el segment $\overline{0\sqrt{3}}$ a partir del punt $\sqrt{2}$, però a diferència d'abans, cap a l'esquerra, i el punt que obtenim correspon a $\sqrt{2}-\sqrt{3}$.

3. Dibuixem sobre la recta els nombres $\sqrt{2}$ i $\sqrt{3}$, i aquesta vegada traslladem cap a l'esquerra el segment $\overline{0\sqrt{2}}$ a partir del punt $\sqrt{3}$, i el punt que obtenim correspon a $\sqrt{3}-\sqrt{2}$.

4. Dibuixem sobre la recta els nombres $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ i la unitat.

A continuació traslladem el segment $\overline{0\sqrt{3}}$ a partir de zero sobre una recta auxiliar, trobant així el punt $P$ .

Tracem una recta que uneixi el punt $P$ i el punt unitat, i a continuació construïm la seva paral·lela que passi pel punt $\sqrt{2}$, obtenint així un punt $P'$ que en traslladar sobre la recta real ens dóna el punt $\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}$.

5. Primer buscarem sobre la recta el punt $(\sqrt{3})^{-1}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$. Per fer-ho, ens marquem sobre la recta els punts $\sqrt{3}, 1$ i $0$.

A continuació marquem sobre una recta auxiliar un punt $P$ traslladant el segment $\overline{01}$. Tracem la recta que uneix el punt $P$ amb el punt $\sqrt{3}$, i construïm una paral·lela a aquesta que passi pel punt $1$, marcant d'aquesta manera el punt $P'$ sobre la recta auxiliar. Un cop fet això, només ens queda traslladar el punt $P'$ sobre la recta real, obtenint així el punt $(\sqrt{3})^{-1}$.

Posem sobre aquesta mateixa recta al punt $\sqrt{2}$ per procedir a realitzar el producte entre $\sqrt{2}$ i $(\sqrt{3})^{-1}$.

A continuació traslladem el segment $\overline{0(\sqrt{3})^{-1}}$ a partir de zero sobre una recta auxiliar, trobant així el punt $P$.

Tracem una recta que uneixi el punt $P$ i el punt unitat, i a continuació construïm la seva paral.lela que passi pel punt $\sqrt{2}$, obtenint així un punt $P'$ que en traslladar-sobre la recta real ens dóna el punt $\sqrt{2}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}}= \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.$