Distància euclidiana entre dos nombres reals

Distància euclidiana

El valor absolut permet definir la distància entre dos nombres reals.

Donats dos nombres $a$ i $b$, determinen dos punts sobre la recta real, que anomenem $A$ i $B$. Definim la distància entre $a$ i $b$ com la longitud del segment $AB$.

Vegem els diferents casos que es poden donar:

1. $0 < a < b$: en aquest cas, ambdós números es troben a la dreta del zero. Llavors, la longitud del segment es calcula fent: $$AB=0B-0A=b-a=|b-a|$$

Com podem veure a la figura:

2. $a < b < 0$: en aquest cas, ambdós números es troben a l'esquerra del zero. Llavors, la longitud del segment es calcula fent $$AB=0A-0B=-a-(-b)=a-b=-(b-a)=|b-a|$$ Gràficament:

3. $a < 0 < b$: en aquest cas tenim un nombre a la dreta i un altre a l'esquerra del zero. En aquest cas la longitud del segment ens queda $$AB=A0+0B=-a+b=-(b-a)=|b-a|$$ O gràficament:

En general, podem dir que la distància entre dos nombres $a$ i $b$, és el valor absolut de la seva diferència, i el denotarem amb: $$d(a,b)=|b-a|$$

Propietats de la distància euclidiana

Com a conseqüències de les propietats del valor absolut tenim que, donats dos nombres reals $a,b$ i $c$, es compleix

• $d(a,b)>0$; i $d(a,b)=0$ si i només si $a=b$.
• $d(a,b)=d(b,a)$.
• $d(a,b) \leq d(a,c) + d(c,b)$

$$d(3,-2)=|-2-3| = |-5|=5$$

$$d(-7,-1)=|-1-(-7)| = |-1+7|=6$$

El valor absolut i la distància definits anteriorment s'anomenen norma euclidianes i distància euclidiana, respectivament. Aquestes representen el concepte més intuïtiu de distància sobre la recta real.