Distancia euclídea entre dos números reales

Distancia euclídea

El valor absoluto permite definir la distancia entre dos números reales.

Dados dos números $a$ y $b$, determinan dos puntos sobre la recta real, que denotamos por $A$ y $B$. Definimos la distancia entre $a$ y $b$ como la longitud del segmento $AB$.

Veamos los distintos casos que se pueden dar:

1. $0 < a < b$: en este caso, ambos números se encuentran a la derecha del cero. Entonces, la longitud del segmento se calcula haciendo $$AB=0B-0A=b-a=|b-a|$$

Como podemos ver en la figura:

2. $a < b < 0$: en este caso, ambos números se encuentran a la izquierda del cero. Entonces, la longitud del segmento se calcula haciendo $$AB=0A-0B=-a-(-b)=a-b=-(b-a)=|b-a|$$ Gráficamente:

3. $a < 0 < b$: en este caso tenemos un número a la derecha y otro a la izquierda del cero. En este caso la longitud del segmento nos queda $$AB=A0+0B=-a+b=-(b-a)=|b-a|$$ O gráficamente:

En general, podemos decir que la distancia entre dos números $a$ y $b$, es el valor absoluto de su diferencia, y lo denotaremos con: $$d(a,b)=|b-a|$$

Propiedades de la distancia euclídea

Como consecuencias de las propiedades del valor absoluto tenemos que, dados tres números reales $a,b$ y $c$, se cumple

• $d(a,b)>0$; y $d(a,b)=0$ si y solo si $a=b$.
• $d(a,b)=d(b,a)$.
• $d(a,b) \leq d(a,c) + d(c,b)$

$$d(3,-2)=|-2-3| = |-5|=5$$

$$d(-7,-1)=|-1-(-7)| = |-1+7|=6$$

El valor absoluto y la distancia definidos anteriormente se denominan norma euclídeas y distancia euclídea, respectivamente. Estas representan el concepto más intuitivo de distancia sobre la recta real.