Expressió decimal de números racionals

Tot nombre racional es pot expressar en base decimal. Aquesta expressió és, per dir-ho col·loquialment, el que la majoria de gent entén per un número amb coma.

Vegem què volem dir amb el següent exemple:

El nombre racional $\dfrac{1}{2}$ es pot escriure com $0,5$.

I llavors llegim zero coma cinc en lloc d'un mig.

Aquesta expressió és útil si ens estem referint, per exemple a un preu o longitud, on cal fer-se una idea del valor del nombre racional.

Aquesta expressió en base decimal no pot ser sempre acurada perquè per exemple $\dfrac{1}{3}=0,33333\ldots$ i hauríem d'escriure infinits $3$, el que ens portaria massa temps. En aquest cas direm que el resultat és zero coma tres periòdic.

Sempre que diguem periòdic ens referirem a que el nombre ha de ser repetit infinites vegades.

L'escrivim posant una barra damunt del nombre periòdic.

En el nostre exemple $\dfrac{1}{3}=0,\widehat{3}$.

El període no té per què involucrar tots els números darrere de la coma. El període també pot ser un nombre de més d'una xifra. Per exemple: $$\dfrac{1}{55}=0,018181818\ldots=0,0\widehat{18}$$

En aquest cas el període és $18$ i el zero no pertany a ell. Hauríem de llegir zero coma zero amb divuit periòdic.

Donat un número amb període podem recuperar l'expressió com a quocient utilitzant el següent procediment.

Sigui $a$ el número corresponent a treure la coma de l'expressió i treure tots els números del període. Sigui $b$ el número corresponent a afegir per la dreta els dígits del període al nombre $a$. Posem també que la part decimal no corresponent al període té $m$ xifres i el període tingui $n$ xifres. Llavors la nostra expressió decimal correspon al quocient de $b-a$ pel nombre amb $n$ nous seguit de $m$ zeros.

És més senzill veure alguns exemples. Veiem com les expressions donades en els exemples anteriors corresponen al nombre racional.

Per a l'expressió $0,\widehat{3}$, segons la nostra notació: $a=0,b=3,m=0$ i $n=1$. I correspon al quocient

$$\dfrac{b-a}{9}=\dfrac{3-0}{9}=\dfrac{1}{3}$$

com ja sabíem.

Per a l'expressió $0,0\widehat{18}$, segons la nostra notació: $a=0,b=018,m=1$ i $n=2$. I correspon al quocient

$$\dfrac{b-a}{990}=\dfrac{18-0}{990}=\dfrac{1}{55}$$

com ja sabíem.

Per a l'expressió $0,12\widehat{34}$, segons la nostra notació: $a=12,b=1234,m=2$ i $n=2$. I correspon al quocient

$$\dfrac{b-a}{9900}=\dfrac{1234-12}{9900}=\dfrac{611}{4950}$$

Podem comprovar que l'expressió decimal correspon a l'expressió inicial.

Per tant, podem pensar els nombres racionals a través de la seva expressió decimal. I aquesta expressió decimal no és més que una seqüència de dígits. Hem vist que els nombre racionals corresponen amb les seqüències de dígits que acaben sent periòdiques.