Situació dels nombres irracionals sobre la recta real
Descriu un mètode per dibuixar el nombre irracional $\sqrt{7}$.
Per dibuixar l'irracional $\sqrt{7}$, descomposem el nombre $7$ com a suma de dos. Tenim diferents opcions: $7=1+6$; $7=2+5$ o bé $7=3+4$. Escollim la tercera ja que $4$ és un quadrat perfecte i ens serà més fàcil dibuixar. A continuació, dibuixem un triangle rectangle els catets del qual tinguin longitud $\sqrt{4}=2$ i $\sqrt{3}$.
Per dibuixar el catet de longitud $\sqrt{3}$ hem de començar de nou el procés:
Descomposem el nombre $3$ com a suma de dos: $3=1+2$.
Dibuixem un triangle rectangle de catets $\sqrt{1}=1$ i $\sqrt{2}$.
Dibuixar un segment de longitud $1$ no és cap problema, i el segment de longitud $\sqrt{2}$ l'obtenim amb un triangle de catets $1$.
Usant la regla de Pitàgores, tenim que la hipotenusa d'aquest triangle és: $$H^2=(\sqrt{2})^2+1^2$$ $$H^2=2+1=3$$ $$H=\sqrt{3}$$
D'aquesta manera ja tenim dibuixada la longitud $\sqrt{3}$ i la podem traslladar, amb l'ajuda d'un compàs, en el triangle rectangle que estàvem dibuixant de catets $\sqrt{3}$ i $2$.
La hipotenusa $G$ d'aquest triangle mesura exactament $\sqrt{7}$: $$G^2=(\sqrt{3})^2+2^2=3+4=7$$
de manera que ja tenim dibuixada la longitud $\sqrt{7}$.
Descomposem el nombre $7$ com $7=3+4$. Per dibuixar el catet de longitud $\sqrt{3}$ descomposem $3=1+2$.
Escriure les cinc primeres aproximacions decimals per defecte i per excés del nombre $e=2,71828182846\ldots$ així com els cinc primers intervals encaixats de la successió d'intervals que defineix.
Donat el nombre $e=2,71828182846\ldots$ considerant el racional obtingut per truncament en cada posició decimal obtenim la successió d'aproximació per defecte del nombre $e$:
$$2; 2.7; 2.71; 2.718; 2.7182; 2.71828; 2.718281; 2.7182818;$$ $$2.71828182; 2.718281828; 2.7182818284; 2.71828182846; \ldots $$
Sumant una unitat en l'últim dígit de cada terme d'aquesta successió obtenim l'aproximació per excés del nombre $e$:
$$3; 2.8; 2.72; 2.719; 2.7183; 2.71829; 2.718282; 2.7182819;$$ $$2.71828183; 2.718281829; 2.7182818285; 2.71828182847; \ldots $$
I a partir de les dues successions, podem construir la successió d'intervals encaixats que defineix al nombre $e=2,71828182846\ldots$:
$$[2,3]; [2.7,2.8]; [2.71,2.72]; [2.718,2.719]; [2.7182,2.7183]; [2.71828,2.71829];$$ $$[2.718281,2.718282]; [2.7182818,2.7182819]; [2.71828182,2.71828183]; \ldots$$
Els cinc primers termes de la successió d'aproximació per defecte són: $2; 2.7; 2.71; 2.718; 2.7182$ Els cinc primers termes de la successió d'aproximació per excés són: $3; 2.8; 2.72; 2.719; 2.7183$ Els cinc primers termes de la successió d'intervals encaixats: $[2,3]; [2.7,2.8]; [2.71,2.72]; [2.718,2.719]; [2.7182,2.7183]$