Divisors i múltiples d'un nombre

Divisors d'un nombre

Si es pensa en dos nombres enters qualssevol, per exemple, $12$ i $3$, es pot fer la seva divisió:

Per a més comoditat s'utilitzarà el format de taules per representar les divisions:

$12$	$3$
$0$	$4$

Obtenint com a resultat el número $4$, un altre nombre enter. D'això se'n diu una divisió exacta, ja que el residu de la divisió és $0$.

Ara, si es pensa en dos nombres, per exemple, $12$ i $5$, es veurà que també es poden dividir:

$12$	$5$
$2$	$2$

En aquest cas, obtenim com a residu $2$. Per tant, no serà una divisió exacta.

Si es prova a dividir diferents nombres entre si es comprovarà que en alguns casos s'obtenen divisions exactes i en altres no.

Si es divideix el número $12$ entre $1, 2, 3, 4, 6$ o $12$, s'obtenen resultats exactes, amb el residu $0$. $$\begin{array}{l} 12\div 1=12 \\ 12 \div 2=6 \\ 12 \div 3=4 \\ 12\div 4= 3 \\ 12\div 6=2 \\ 12 \div 12=1\end{array}$$ Es diu que els números $1, 2, 3, 4, 6$ i $12$ són divisors del nombre $12$.

De manera que es pot dir que un nombre és divisor d'un altre quan la divisió del segon entre el primer (el divisor) és una divisió exacta.

Els divisors del nombre $10$ són $1, 2, 5$ i $10$. $$10 \div 1 = 10 \\ 10 \div 2 = 5 \\ 10 \div 5 = 2 \\10 \div 10 = 1$$

Els divisors del nombre $27$ són $1, 3, 9$ i $27$.$$21 \div 1=27 \\ 27 \div 3=9 \\ 27 \div 9 = 3 \\ 27 \div 27 =1$$

Els divisors del nombre $35$ són $1, 5, 7$ i $35$.$$35 \div 1=35 \\ 35 \div 5= 7 \\ 35 \div 7=5 \\35 \div 35 =1$$

Els divisors del nombre $40$ són $1, 2, 4, 5, 8, 10, 20$ i $40$. $$40 \div 1 = 40 \\ 40 \div 2 = 20 \\40 \div 4 =10\\40 \div 5= 8 \\40 \div 8 = 5 \\ 40 \div 10=4 \\ 40 \div 20 =2 \\40 \div 40=1$$

Com es veu en els exemples, els divisors d'un nombre sempre seran menors que ell. Entre ells estarà sempre l'$1$, pel que pot ser dividit de forma exacta qualsevol nombre.

A més, qualsevol nombre serà sempre divisor de si mateix, donant com a quocient l'$1$.

Múltiples d'un nombre

Si es pren un dels exemples anteriors, per exemple el número $35$, es pot concloure que $35$ és un múltiple de qualsevol dels seus divisors, que són $1, 5, 7$ i $35$.

Un nombre és múltiple d'un altre quan aquest últim pot multiplicar per un tercer número per obtenir el primer.

En aquest cas, es pot dir, per exemple, que $35$ és múltiple de $5$ perquè:

$$5 \times 7=35$$

De la mateixa manera, $35$ és múltiple de $7$ per la mateixa raó.

En els altres exemples, i portant a terme les multiplicacions entre divisors que donen lloc al nombre del qual hem partit, ja sigui $12, 10, 27$ o $40$, podem concloure que:

$12$ és múltiple de $1, 2, 3, 4, 6$ i $12$ perquè tots aquests números poden ser multiplicats per un altre i donar lloc a $12$. $$1 \times 12=12 \\ 2 \times 6 = 12 \\ 3 \times 4 =12 $$ $10$ és múltiple de de $1, 2, 5$ i $10$. $$1 \times 10 = 10 \\ 2 \times 5 = 10$$ $27$ és múltiple de $1, 3, 9$ i $27$. $$1 \times 27 = 27 \\ 3 \times 9 =27 $$ $40$ és múltiple de $1, 2, 4, 5, 8, 10, 20$ i $40$. $$1 \times 40=40 \\ 2\times 20=40 \\ 4\times 10=40 \\ 5\times 8=40$$

Com es veu en els exemples, qualsevol nombre (diferent de zero) és múltiple de si mateix i de la unitat. A més, qualsevol nombre té infinits múltiples ja que sempre podrà ser multiplicat per un nombre qualsevol.