Divisores y múltiplos de un número

Divisores de un número

Si se piensa en dos números enteros cualesquiera, por ejemplo, $12$ y $3$, se puede hacer su división:

Para mayor comodidad se utilizará el formato de tablas para reprentar las divisiones:

$12$	$3$
$0$	$4$

Obteniendo como resultado el número $4$, otro número entero. A esto se le llama una división exacta, ya que el resto de la división es $0$.

Ahora, si se piensa en otros dos números, por ejemplo, $12$ y $5$, se verá que también se pueden dividir:

$12$	$5$
$2$	$2$

En este caso, obtenemos un resto, el número $2$. Por tanto, no será una división exacta.

Si se prueba a dividir diferentes números entre sí se comprobará que en algunos casos se obtienen divisiones exactas y en otros no.

Si se divide el número $12$ entre $1, 2, 3, 4, 6$ o $12$, se obtienen resultados exactos, con resto $0$. $$\begin{array}{l} 12\div 1=12 \\ 12 \div 2=6 \\ 12 \div 3=4 \\ 12\div 4= 3 \\ 12\div 6=2 \\ 12 \div 12=1\end{array}$$ Se dice que los números $1, 2, 3, 4, 6$ y $12$ son divisores del número $12$.

De manera que se puede decir que un número es divisor de otro cuando la división del segundo entre el primero (el divisor) es una división exacta.

Los divisores del número $10$ son $1, 2, 5$ y $10$. $$10 \div 1 = 10 \\ 10 \div 2 = 5 \\ 10 \div 5 = 2 \\10 \div 10 = 1$$

Los divisores del número $27$ son $1, 3, 9$ y $27$.$$21 \div 1=27 \\ 27 \div 3=9 \\ 27 \div 9 = 3 \\ 27 \div 27 =1$$

Los divisores del número $35$ son $1, 5, 7$ y $35$.$$35 \div 1=35 \\ 35 \div 5= 7 \\ 35 \div 7=5 \\35 \div 35 =1$$

Los divisores del número $40$ son $1, 2, 4, 5, 8, 10, 20$ y $40$. $$40 \div 1 = 40 \\ 40 \div 2 = 20 \\40 \div 4 =10\\40 \div 5= 8 \\40 \div 8 = 5 \\ 40 \div 10=4 \\ 40 \div 20 =2 \\40 \div 40=1$$

Como se ve en los ejemplos, los divisores de un número siempre serán menores que él. Entre ellos estará siempre el $1$, por el que puede ser dividido de forma exacta cualquier número. Además, cualquier número será siempre divisor de sí mismo, dando como cociente el $1$.

Múltiplos de un número

Si se toma uno de los ejemplos anteriores, por ejemplo el número $35$, se puede concluir que $35$ resulta un múltiplo de cualquiera de sus divisores, que son $1, 5, 7$ y $35$.

Un número es múltiplo de otro cuando éste último puede multiplicarse por un tercer número para obtener el primero.

En este caso, se puede decir, por ejemplo, que $35$ es múltiplo de $5$ porque:

$$5 \times 7=35$$

De la misma manera, $35$ es múltiplo de $7$ por la misma razón.

En los otros ejemplos, y llevando a cabo las multiplicaciones entre divisores que dan lugar al número del que hemos partido, ya sea $12, 10, 27$ o $40$, podemos concluir que:

$12$ es múltiplo de $1, 2, 3, 4, 6$ y $12$ porque todos estos números pueden ser multiplicados por otro y dar lugar a $12$. $$1 \times 12=12 \\ 2 \times 6 = 12 \\ 3 \times 4 =12 $$ $10$ es múltiplo de $1, 2, 5$ y $10$. $$1 \times 10 = 10 \\ 2 \times 5 = 10$$ $27$ es múltiplo de $1, 3, 9$ y $27$. $$1 \times 27 = 27 \\ 3 \times 9 =27 $$ $40$ es múltiplo de $1, 2, 4, 5, 8, 10, 20$ y $40$. $$1 \times 40=40 \\ 2\times 20=40 \\ 4\times 10=40 \\ 5\times 8=40$$

Como se ve en los ejemplos, cualquier número (distinto de cero) es múltiplo de sí mismo y de la unidad. Además, cualquier número tiene infinitos múltiplos puesto que siempre podrá ser multiplicado por un número cualquiera.